合宿型セミナー
保型L 函数の特殊値と付随するp 進L 函数
- 概要
- 時期: 2016年9月19日(月)から9月23日（金）まで
集会形式: (RIMS共同利用からの援助による)合宿型セミナー
- 場所: 美山町自然文化村 河鹿荘（京都府南丹市）
宿泊施設ホームページへのリンク
- オーガナイザー: 落合理（大阪大学）, 都築正男（上智大学）
- 目的
昔からよく知られたHecke指標や楕円モジュラー形式に対するp進L函数の様々な
別構成や一般的な枠組みを復習し, それを足がかりとして, 高階数の代数群の保型L函数の特殊値を補間するp進L函数の構成を議論する.
「よい積分表示の存在」, 「アルキメデス素点や悪い有限素点での積分の計算」, 「特殊値の代数性質」などの古典的な楕円モジュラー形式においては知られていた
基本的結果の高階数の簡約代数群上の保型L函数への一般化は
まだまだ未完成である. そのため, そのような未解決
の問題点が長きにわたりp進L函数の構成や性質の研究の大きな障害となっていた.
現状を掘り起こして分析し今後のp進L函数の研究の指針を明らかにすること, 保型L函数の特殊値の研究や新しいp進L函数の構成とその性質の研究に刺激や
進展をもたらすことを目的とする.
- 背景と動機
背景を簡単に復習する.
p進L函数としては, 一番簡単なRiemannゼータ函数やDirichlet L函数のp進類似に相当するものが, 久保田-Leopoldt, Mazur, 岩澤, Colemanらによって1960年代以降様々な方法で構成された. これは保型表現でいえばGL_1(Q)の保型表現に対するp進L函数ができたことに相当する. 1970年代より, Manin, Vishik, Amice-Ve
lu, MazurらによってGL_2(Q)の保型表現に対するp進L函数が構成されたのを皮切りに, 高階数の代数群の保型表現に対する1変数円分p進L函数の構成が散見されるようになった. 例えば, この40年間に, GL(2)の場合の対称積, GL(3)やGL(2n)の場合, GSp(4)のstandard表現の場合, GL(n)×GL(n-1)の場合にp進L函数の構成が部分的に完成した.
「部分的に完成」と述べたのは, これら一連の仕事では, 無限素点や悪い素点での積分計算の難しい部分はあきらめて予想として残されていたり, pでの不分岐性の仮定があったり, 対応する志村多様体の局所系が定数局所系になる重さの制限がある点など
問題があってベストな状況ではないからである. 一方で, 必ずしもp進L函数の構成や性質の研究に動機づけられずに, 近年は保型L函数の基礎理論の研究で多くの
進歩があったのも事実である.
例えば, 積分表示の無限成分が具体的計算例が多く蓄積され, 周期の非消滅性に関する極めて一般的な結果も得られた. それらの進展を活かせばp進L函数に関して再びある程度の進歩が望める時代になってきたように思われる. 保型L函数に深い知識をもつ研究者と岩澤理論や数論幾何を背景にp進L函数の研究に興味を持ってきた研究者が, 合宿を通して密な相互作用を持てば, 保型側の研究者には新たな研究のモチベーションが引き起こされ, 数論幾何側の研究者には技術力を深めてより深いp進理論の探求の足がかりが得られるだろう.
- 計画
(1)p進L函数の専門家による基本的な予想や期待されることなどの枠組みの概説と討議
(2)保型L函数の専門家による幾つかの技術や知識の概説と討議
(3)高階数の代数群のp進L函数で知られている最近の仕事の紹介と討議
特に, p進L函数や岩澤理論の専門家は非専門家を意識して普段よりも基本概念や
モチベーションを親切に与える解説を, 逆に保型の専門家も普段よりも非専門家を
意識した講演を行うようにする. そのために, 講演時間を多めにとりコミュニケーションも活発にとれる工夫をしていきたい.
- 講演予定者
石井卓, 落合理, 小林真一, 都築正男, 並川健一, 千田雅隆, 原隆,
平野雄一, 宮崎直, 森本和輝, 安田正大, Ming-Lun Hsieh
(随時追加予定)（並びは５０音順）
勉強会の内容
- 楕円モジュラー形式のp進L函数の復習
- モチーフやガロワ表現のp進L函数の存在予想
- モチーフと代数的保型表現, 代数的保型表現の係数体
-
保型L函数の無限因子の計算に関する現状
-
保型L函数の複素周期の一般的な非消滅定理
-
GL(2n)の場合, GL(n)×GL(n-1)の場合の保型L函数の
critical valueの代数性
-
GL(3)のp進L函数の現状
-
GL(2n)のp進L函数(直交群のリフトからくる場合)の現状
-
GL(n)×GL(n-1)のp進L函数の現状
-
三重積L函数のcritical valueの代数性とp進L函数
主要参考文献
-
落合理,
岩澤理論とその展望（下）, 岩波書店, 2016.
-
J. Coates and B. Perrin-Riou, On p-adic L-functions attached to
motives over Q, Advanced Studies in Pure Math.17 (1989), 23-54.
-
B. Perrin-Riou, Fonctions L p-adiques des représentations p-adiques,
Astérisque229, 1995.
-
Clozel, Laurent Motifs et formes automorphes: applications du principe de fonctorialité, Automorphic forms, Shimura varieties, and L-functions, Vol. I (Ann Arbor, MI, 1988), 77-159, Perspect. Math., 10, Academic Press, Boston, MA, 1990.
-
Buzzard, Gee,
The conjectural connections between automorphic representations and
Galois representations,
Automorphic Forms and Galois Representations, Volume 1, 135-187,
London Mathematical Society Lecture Note Series, 414,
Cambridge University Press, 2014
-
Sun, Binyong,
Cohomologically induced distinguished
representations ans cohomological test vectors,
arXiv:1111.2636 [math.RT]
-
Sun, Binyong,
The nonvanishing hypothesis at infinity for Rankin-Selberg convolutions,
arXiv:1307.5357 [math.RT]
- Grobner, Harald; Raghuram, A., On the arithmetic of Shalika models and the critical values of L-functions for GL_{2n}. With an appendix by Wee Teck Gan. Amer. J. Math. 136 (2014), no. 3, 675-728.
-
Grobner, Harald; Raghuram, A.,
On some arithmetic properties of automorphic forms of GL_m over a division algebra. Int. J. Number Theory 10 (2014), no. 4, 963--1013.
-
Mahnkopf, Joachim,
Eisenstein cohomology and the construction of p-adic analytic L-functions.
Compositio Math. 124 (2000), no. 3, 253-304.
-
Ash, Avner; Ginzburg, David ,
p-adic L-functions for GL(2n). Invent. Math. 116 (1994), no. 1-3, 27-73.
-
Kazhdan, D.; Mazur, B.; Schmidt, C.-G.
Relative modular symbols and Rankin-Selberg convolutions.
J. Reine Angew. Math. 519 (2000), 97--141.
-
Januszewski, Fabian, On p-adic L-functions for GL(n)×GLn−1) over totally real fields. Int. Math. Res. Not. IMRN 2015, no. 17, 7884-7949.
-
Januszewski, Fabian,
p-adic L-functions for Rankin-Selberg convolutions over number fields.
Ann. MAth. Qué. 40 (2016), no. 2, 453-489.
-
Ichino, Atsushi,
Trilinear forms and central values of the triple product L-functions, Duke Math. J. 145 (2008) no. 2, 281-307.
- 問い合わせ先:
- 落合理（東京工業大学）mail: (familyname) @math.titech.ac.jp