講義名 代数学特論A（Advanced topics in Algebra A）　　科目コード：MTH.A401
開講学期 １Q 単位数 1--0--0
担当 下元 数馬　教授：本館2階233号室（内線2202）


【授業の目的（ねらい）、概要】
代数幾何学、整数論、可換環論で重要になりつつあるパーフェクトイド理論の基礎について講義を行う。 本講義では "Advanced topics in Algebra B" （代数学特論B）とともに、可換環論の基礎、Banach加群、adic空間についても解説を行う。

【到達目標】
本コースでは、正標数、標数零、混合標数という異なる数学的世界を舞台に、可換環の構造的性質を探究する。正標数においてフロベニウス自己準同型という強力な道具を使い、環の性質を解明する基礎を与える。これを土台として、HochsterとHunekeが提唱したタイト・クロージャ（緊密閉包）理論を導入し、特異点の解析やホモロジー代数における諸予想への応用を与える。講義の後半では、これらを架け橋として混合標数の環へと進む。非ネーター的な可換代数を駆使する概数学（Almost Mathematics）の視点を取り入れ、現代数学の重要理論であるパーフェクトイド理論の基礎を習得を目指す。

【キーワード】
正標数、Frobenius写像、Cohen-Macaulay環、完全閉包

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式で行う。

【授業計画・課題】

第1回	可換環論の復習
第2回	Frobenius写像と特異点１
第3回	Frobenius写像と特異点２
第4回	Cohen-Macaulay環
第5回	Big Cohen-Macaulay代数
第6回	完全閉包、代数的改変
第7回	Big Cohen-Macaulay代数の構成

講義中に指示する

【準備学修(事前学修・復習)等についての指示】
学習効果を上げるため、講義やその他資料で提供する参考資料の閲覧を推奨する。

【教科書】
使用しない。

【参考書、講義資料等】
M.Hochster: Foundations of tight closure theory
T.Polstra and L.Ma: F-singularities: A commutative algebra approach(https://www.math.purdue.edu/~ma326/F-singularitiesBook.pdf)
K.Shimomoto: Lectures on perfectoid geometry for commutative algbraists
O.Gabber and L.Ramero: Almost ring theory

【成績評価の方法及び基準】
上記レポートの解答状況による。詳細は講義中に指示する。

【関連する科目】
MTH.A402 ： 代数学特論B
ZUA.A331 ： 代数学特別講義A
ZUA.A332 ： 代数学特別講義B

【履修の条件・注意事項】
学部程度の代数，特に可換環論と加群