代数学特論B

【講義の概要とねらい】
群の表現論においては、与えられた群が様々な仕方でベクトル空間に作用する様子を調べる。
この講義では, 対称群の複素数体上の有限次元既約表現の分類とそれらの具体的構成方法, そして既約指標の計算方法について解説する. 但し, Frobenius, Schur, Young による古典的なアプローチでは無く, 近年になって Okounkov-Vershik によって導入された現代的なアプローチを紹介する. 本講義は、第 1Q に開講される「代数学特論A1」の講義内容を踏まえて行われる．

【到達目標】
・対称群の既約有限次元表現の分類を理解する.
・対称群の既約有限次元表現の具体的構成法を理解する.
・対称群の既約有限次元表現の指標の計算方法を理解する.

【キーワード】
対称群, 既約有限次元表現, 既約指標, Murnaghan-Nakayama rule

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式で行う。

【授業計画・課題】

第1回	hook length formula とその証明
第2回	分岐グラフと Young グラフの同型: part 1
第3回	分岐グラフと Young グラフの同型: part 2
第4回	対称群の既約有限次元表現の具体的実現
第5回	対称群の既約有限次元表現の Gelfand-Zetlin 基底
第6回	対称群の既約有限次元表現の指標
第7回	Schur の再交換団定理と Schur 関手
第8回	Schur-Weyl の双対性

レポート問題を授業中に出す。

【授業時間外学修（予習・復習等）】
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ30分を目安に行うこと。

【教科書】
使用しない

【参考書、講義資料等】
T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli, Representation Theory of the Symmetric Groups, Cambridge University Press, 2010.
M. Lorenz, A Tour of Representation Theory, American Mathematical Society, 2018.

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題の評価による（100%）。

【関連する科目】
MTH.A201 ：代数学概論第一
MTH.A202 ：代数学概論第二
MTH.A301 ：代数学第一
MTH.A302 ：代数学第二
MTH.A211 ：線形空間論第一
MTH.A212 ：線形空間論第二
MTH.A405 ：代数学特論A1

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
線形空間論と、学部で講義される程度の代数学を学んでおく事が望ましい。
また、MTH.A405「代数学特論A1」の履修が望ましい。