講義名 代数学概論第四（Introduction to Algebra Ⅳ） 科目コード：MTH.A204
開講学期 ４Q 単位数 1--1--0
担当 下元 数馬 教授：本館２階２３３号室（内線２２０２）
染川 睦郎 講師：本館３階３１１号室（内線３３９０）
【講義の概要とねらい】
代数学は数学的対象のもつ演算規則を抽象化・一般化した対象を扱う数学の分野である。本講義で主に扱うのは、唯一つの演算をもつ数学的対象である群に関する基本的な概念と性質である。偶数回目の授業では前回の講義内容に関する問題演習を行い、概念の定着を図る。本講義は、直前に行われる「代数学概論第三」に続くものである。
群は数学および周辺科学における基本言語であり、応用範囲の広い概念である。しかしながら、群を有効に活用するためには、群を抽象的な概念として習得することに加え、多くの実例に馴れ親しんでおくことも必要である。本講義では、集合と写像の概念に基づいた群の抽象的な取り扱いを学ぶと共に、具体的な群の典型例を学ぶ。
【到達目標】
特に重要な概念である、群の作用、軌道、共役類、類等式、シローの定理、可解群、有限群の表現、表現の指標等を理解し、具体例とともにそれらを説明できるようになる事。また、これらについての基本的な性質を自力で証明できる様になる事。
【キーワード】
群の作用、軌道、共役類、類等式、シローの定理、可解群、有限群の表現、表現の指標
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う。
【授業計画・課題】
| 第1回 | 群の作用の定義と例、固定群、軌道、軌道分解 |
| 第2回 | 第１回の講義内容に関する問題演習 |
| 第3回 | 元の共役、共役類、類等式 |
| 第4回 | 第３回の講義内容に関する問題演習 |
| 第5回 | 群の作用の応用、シローの定理 |
| 第6回 | 第５回の講義内容に関する問題演習 |
| 第7回 | 可解群 |
| 第8回 | 第７回の講義内容に関する問題演習 |
| 第9回 | 有限群の表現の定義と例 |
| 第10回 | 第９回の講義内容に関する問題演習 |
| 第11回 | シューアの補題、マシュケの定理 |
| 第12回 | 第11回の講義内容に関する問題演習 |
| 第13回 | 表現の指標 |
| 第14回 | 第13回の講義内容に関する問題演習 |
課題は講義中に指示する