講義名 位相幾何学（Topology） 科目コード：MTH.B341
開講学期 ４Q 単位数 2--0--0
担当 野坂 武史 准教授：本館３階３３４B号室（内線２２０４）
【講義の概要とねらい】
本講義では、ホモロジー群および基本群に関する基本事項を学ぶ。ホモロジー群と基本群は位相幾何学における最も基本的な概念であり、位相不変量の典型的な例でもある。
講義の流れとして,
まずホモトピーや変位レトラクションといった概念を紹介した後、単体、単体複体、単体写像などの単体複体に関連する基本的な概念を解説する。次に、単体複体の鎖群とホモロジー群や単体写像の誘導準同型を導入し、ホモロジー群のホモトピー不変性を紹介する。最後に、位相空間の基本群を定義し、Seifert-van
Kampenの定理を述べる。
【到達目標】
・与えられた単体の集合が単体複体であるかどうか、判定できるようになること
・単体近似定理の正確な内容と意義を理解すること
・与えられた単体複体のホモロジー群が計算できるようになること
・簡単な位相空間の基本群が計算できるようになること
【キーワード】
ホモトピー、変位レトラクト、単体複体、単体写像、鎖群、境界準同型、ホモロジー群、誘導準同型、Euler数、Mayer-Vietoris完全系列、ホモトピー不変性、基本群、Seifert-van Kampenの定理
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
通常の講義形式による授業を行う。
【授業計画・課題】
| 第1回 | あらまし、積空間、商空間、ホモトピー |
| 第2回 | ホモトピー同値、変位レトラクト、可縮、単体、面、重心座標 |
| 第3回 | 単体複体、部分複体、多面体、単体分割、抽象単体複体、 |
| 第4回 | 幾何学的実現、単体写像、同型 、単体の重心、可接合、結 |
| 第5回 | 輪体、境界輪体、ホモロジー群、Betti数、Euler数 |
| 第6回 | ホモロジー群の簡単な計算（I)と、完全系列 |
| 第7回 | 鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性 |
| 第8回 | 連結準同型、Mayer-Vietoris完全系列 |
| 第9回 | ホモロジー群の計算例（II) |
| 第10回 | ホモロジー群の応用 |
| 第11回 | ホモロジー群の展開; 胞体ホモロジー、特異ホモロジー、コホモロジーなど |
| 第12回 | 道、ループ、道の積、逆の道、基本群 |
| 第13回 | 誘導準同型、基点の取り替え、基本群のホモトピー不変性 |
| 第14回 | 群の自由積、Seifert-van Kampenの定理 |
課題は講義中に指示する
【授業時間外学修（予習・復習等）】
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
【教科書】
田村一郎「トポロジー」岩波書店
（注意：購入は必須ではない）
【参考書、講義資料等】
中岡稔「位相幾何学 ホモロジー論」共立出版
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press
【成績評価の基準及び方法】
レポート(100%)
【関連する科目】
MTH.B301 ： 幾何学第一
MTH.B302 ： 幾何学第二
【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
「位相空間論第一(MTH.B201)」、「位相空間論第二(MTH.B202)」、「位相空間論第三(MTH.B203)」、「位相空間論第四(MTH.B204)」、「代数学概論第一(MTH.A201)」、「代数学概論第二(MTH.A202)」、「代数学概論第三(MTH.A203)」、「代数学概論第四(MTH.A204)」を
履修済みであることが望ましい。