講義名 確率論（Probability Theory） 科目コード：MTH.C361
開講学期 ４Q 単位数 2--0--0
担当 二宮 祥一 教授： 西９号館１階W１０３号室（内線３５１７）
【講義の概要とねらい】
本講義では，測度論的確率論の諸概念を導入し，その枠組みで基本的な極限定理を取り扱う．まず，確率論全般の基礎となる諸概念の定義と基本的な性質を論じ
る．具体的には，確率空間，確率測度，確率変数とその分布，期待値，独立性等を扱う．これらを礎として，最も基本的な極限定理である大数の法則および中心
極限定理を定式化し，証明する．
Kolmogorovによる測度論を用いた確率論の公理化により，それまでにも実社会および諸科学で広く利用され
てきた確率の概念が，数学的に厳密な基礎を持つことになった．特に無限に関する議論を正確に展開することが可能になり，各種極限定理の意味するところを正
確に述べられるようになった．本講義を通じて，従来直感的に扱ってきた確率論の諸概念・諸定理および種々の確率計算がどのように定式化され，いかなる性質
を持つのか明らかにする．
【到達目標】
・測度論に基づく確率論の議論を追えるようになること．
・与えられた分布に対して，対応する確率変数の期待値や分散，特性関数等の特性量が計算できるようになること．
・確率変数列および確率分布列の収束について，その定義と性質を把握し，基本的な例を説明できるようになること．
・大数の法則や中心極限定理をどう定式化するのか，厳密に説明できるようになること．
・上記の極限定理の証明のあらすじを説明できるようになること．
【キーワード】
確率空間，確率測度，確率変数，確率分布，期待値，独立性，概収束，確率収束，Borel-Cantelliの補題，大数の法則，分布収束，特性関数，中心極限定理，マルチンゲール
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
通常の講義形式．
【授業計画・課題】
| 第1回 | 確率空間，確率測度, Borel-Cantelliの定理 |
| 第2回 | 確率変数，独立性 |
| 第3回 | Kolmogorovの0-1法則 |
| 第4回 | 期待値 |
| 第5回 | 条件附期待値 |
| 第6回 | 離散時間マルチンゲール |
| 第7回 | 任意停止定理, マルチンゲール収束定理 |
| 第8回 | 大数の強法則 |
| 第9回 | 特性関数 |
| 第10回 | 大数の強法則の応用, 確率測度の収束 |
| 第11回 | 弱収束 |
| 第12回 | 特性関数の基本的な性質,特性関数の例 |
| 第13回 | 特性関数と分布 |
| 第14回 | 中心極限定理 |
課題は講義中に指示する
【授業時間外学修（予習・復習等）】
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
【教科書】
特になし
【参考書、講義資料等】
David Williams, ``Probability with Martingales'', Cambridge University Press
【成績評価の基準及び方法】
期末試験(およそ50%)およびレポート(およそ50%)．
【関連する科目】
MTH.C211 ： 応用解析序論第一
MTH.C212 ： 応用解析序論第二
MTH.C305 ： 実解析第一
MTH.C306 ： 実解析第二
【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
「応用解析序論第一」，「応用解析序論第二」，「実解析第一」，「実解析第二」を履修済みであることが望ましい．