講義名 幾何学特論G（Advanced topics in Geometry G） 科目コード：MTH.B503
開講学期 ３Q 単位数 1--0--0
担当 Kalman Tamas 准教授：本館２階２０８号室（内線２２１７）
【講義の概要とねらい】
本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer
ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。Floer
ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では Heegaard Floer
homology とその応用を学ぶ。
【到達目標】
この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。
【キーワード】
結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
通常の講義形式
【授業計画・課題】
| 第1回 | 結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質 |
| 第2回 | Alexander 多項式（無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列）、Seifert の定理 |
| 第3回 | Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義 |
| 第4回 | Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams |
| 第5回 | 結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数 |
| 第6回 | d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要 |
| 第7回 | Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解 |
課題は講義中に指示する
【授業時間外学修（予習・復習等）】
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。
【教科書】
なし
【参考書、講義資料等】
講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。
Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)
【成績評価の基準及び方法】
レポート（100%）
【関連する科目】
MTH.B301 ： 幾何学第一
MTH.B202 ： 位相空間論第二
MTH.B302 ： 幾何学第二
【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
代数トポロジー（ホモロジー、コホモロジー、基本群等）を仮定する。基本的な複素解析を知っていることが望ましい。
【その他】
予備知識を気にせず、わからないことは率直に聞いてください。