講義名 位相空間論第二（Introduction to Topology II）　　科目コード：MTH.B202
開講学期 ２Q 単位数 1--1--0
担当　Kalman　Tamas　准教授：本館２階２０８号室（内線２２１７）
　　　　河井　真吾　助教：本館３階３１４A号室（内線２２１５）


【講義の概要とねらい】
　本講義の主要なテーマは順序集合とユークリッド空間および距離空間である。順序集合に関する基本的事項を解説した後、整列集合、帰納的順序集合およびこれ らの応用について学ぶ。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せる ことを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。隔回で講義内容に関する演 習問題を行う。本講義は、1Qに開講される「位相空間論第一」に続くものである。
　集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用 範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものであ る。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

【到達目標】
・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ特別な性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること

【キーワード】
順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う

【授業計画・課題】

第1回	順序関係、全順序、整列集合、整列集合に関する基本性質
第2回	前回の講義内容に関する問題演習
第3回	帰納的順序集合、ツォルンの補題
第4回	前回の講義内容に関する問題演習
第5回	整列可能定理、整列可能定理と選択公理の同値性
第6回	前回の講義内容に関する問題演習
第7回	順序数、濃度の比較定理
第8回	前回の講義内容に関する問題演習
第9回	ツォルンの補題の応用例
第10回	前回の講義内容に関する問題演習
第11回	ユークリッド空間、距離空間、開集合と閉集合
第12回	前回の講義内容に関する問題演習
第13回	距離空間における基本的概念
第14回	前回の講義内容に関する問題演習
第15回	理解度確認

課題は講義中に指示する

【授業時間外学修（予習・復習等）】
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと。

【教科書】
「集合と位相」　内田伏一著　裳華房 (1986年)

【参考書、講義資料等】
「集合と位相」　斎藤毅著　東京大学出版会（2009年）
「集合・位相入門」　松坂和夫著　岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」　森田茂之著　朝倉書店 (2002年)

【成績評価の基準及び方法】
期末試験(およそ70%) および問題演習における解答状況(およそ30%)

【関連する科目】
MTH.B201 ： 位相空間論第一
MTH.B203 ： 位相空間論第三
MTH.B204 ： 位相空間論第四

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
位相空間論第一を履修済みであること。
微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。