講義名　実解析第一（Real Analysis I）　　科目コード：ZUA.C３０５
開講学期　１-2Q　単位数　2--0--0
担当　利根川　吉廣　教授：本館２階２０３号室（内線２２０９）

【講義の概要とねらい】
本講義では，測度および測度による積分(Lebesgue積分)に関する概念と性質を扱う．まず測度の定義域となる可算加法族と(可算加法的)測度の基礎を解説し，最も基本的な測度であるLebesgue測度について学ぶ．次に，積分対象となる可測関数およびLebesgue積分を導入し，その基本的な性質について学ぶ．次に，積分の理論・応用双方の要となる収束定理について学ぶ．次に測度の構成や拡張について学ぶ．次に，Lebesgue測度による積分とRiemann積分との関係を明らかにする．その次に，積分により定まる関数空間を導入し，その基本的な性質について学ぶ．最後に，直積空間上の(逐次)積分の測度論的な取り扱いとして，Fubiniの定理について学ぶ．本科目は演習科目「解析学演習C第一」とセットで履修することが強く推奨される．
測度および積分の理論は，Lebesgueによって集合論の土台の上に構築された．これは，長さや面積，体積あるいは確率等の概念の自然な拡張とみなせる．無限が関わる操作(図形や関数に対する極限等)は，自然に理論の枠内で取り扱うことができる．本講義を通じて，Lebesgue式の積分によって理論の適用範囲がどう拡がり，それが解析学において如何に有効になるのかを伝えたい．

【到達目標】
・可算加法族および測度の概念に馴染むこと．
・与えられた可測関数が可測である理由を説明できるようになること．
・積分の基本的な性質について，それが成り立つ理由を知り使いこなせるようになること．
・収束定理を，正しく仮定を判定して適用できるようになること．
・測度の基本的な構成方法の概略を説明できるようになること．
・Lebesgue積分とRiemann積分の違いが説明できるようになること．
・Lebesgue積分の理論を微分積分学の問題に応用できるようになること．
・積分に関する関数不等式や関数空間を用いる考え方に馴染むこと．
・Fubiniの定理を(多)重積分・逐次積分の計算に正しく適用できるようになること．

【キーワード】
可算加法族，可測空間，測度，測度空間，Lebesgue測度，可測関数，Lebesgue積分，単調収束定理，Fatouの補題，優収束定理，Hopfの拡張定理，外測度，Caratheodory可測性，Riemann積分，H\"olderの不等式，Minkowskiの不等式，Lebesgue空間，直積測度，Fubiniの定理

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式．

【授業計画・課題】