幾何学特論G1

【講義の概要とねらい】
本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。Floer ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では Heegaard Floer homology とその応用を学ぶ。

【到達目標】
この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。

【キーワード】
結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義

【授業計画・課題】

第1回	結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質
第2回	Alexander 多項式（無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列）、Seifert の定理
第3回	Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義
第4回	Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams
第5回	結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数
第6回	d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要
第7回	Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解
第8回	勾配流、横断性、モジュライ空間とその向き

各回とも定義と性質の確認を課題とする

【教科書】
特になし

【参考書、講義資料等】
講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。 Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題（100％）．

【関連する科目】
MTH.B202 ：位相空間論第二
MTH.B301 ：幾何学第一
MTH.B302 ：幾何学第二

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
代数トポロジー（ホモロジー、コホモロジー、基本群等）を仮定する。基本的な複素解析を知っていることが望ましい。

【その他】
予備知識を気にせず、わからないことは率直に聞いてください。