講義名 幾何学演習B第一(Excercises in Geometry B I) 科目コード:ZUA.B302
開講学期 1-2Q 単位数 0--2--0
担当 服部 俊昭 准教授:本館2階209号室(内線2864)
【講義の概要とねらい】
本科目は「幾何学第一」(ZUA.B301)の演習である.「幾何学第一」で扱われる講義の内容について、問題演習を行う。
【到達目標】
・多様体の定義を理解すること。
・多様体の例を5つ以上挙げることができるようになること。
・多様体上の関数, 多様体間の写像が滑らかであるということの定義を理解すること。
・正則値の逆像を使って多様体を構成する方法を知ること。
・接ベクトルと接空間の定義を理解すること。
・写像の微分の定義を理解すること。
・部分多様体の例を3つ以上挙げることができるようになること。
・1の分割の使い方に慣れること。
・ベクトル場の括弧積と積分曲線について理解すること。
【キーワード】
多様体, 微分構造, 滑らかな関数, 滑らかな写像, 正則値, 射影空間, 接ベクトル, 接空間、 写像の微分、正則値、臨界点、逆関数定理、サードの定理、はめ込みと埋め込み、ホイットニーの埋め込み定理、1の分割、ベクトル場、括弧積、積分曲線、1助変数変換群
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
「幾何学第一」で解説した内容に関する問題演習。
【授業計画・課題】
第1回 | 以下の内容に関する問題演習: 多様体の定義、多様体の例(球面) |
第2回 | 以下の内容に関する問題演習: 多様体の例(球面以外の例)、微分構造 |
第3回 | 以下の内容に関する問題演習: 滑らかな関数と写像、正則値定理による多様体の構成 |
第4回 | 以下の内容に関する問題演習: 正則値定理の証明 |
第5回 | 以下の内容に関する問題演習: 実射影空間、実射影平面上の曲線 |
第6回 | 以下の内容に関する問題演習: 複素射影空間、接ベクトルの定義 |
第7回 | 以下の内容に関する問題演習: 接空間の定義、接空間がベクトル空間になること |
第8回 | 理解度確認 |
第9回 | 以下の内容に関する問題演習: 写像の微分、正則点、臨界点 |
第10回 | 以下の内容に関する問題演習: 逆関数定理、正則値の逆像、サードの定理 |
第11回 | 以下の内容に関する問題演習: はめ込み、埋め込み |
第12回 | 以下の内容に関する問題演習: 部分多様体と埋め込みとの関係 |
第13回 | 以下の内容に関する問題演習: ホイットニーの埋め込み定理、1の分割 |
第14回 | 以下の内容に関する問題演習: ベクトル場、括弧積, 積分曲線 |
第15回 | 以下の内容に関する問題演習: 1助変数変換群 |
課題は講義中に指示する
【教科書】
使用しない。
【参考書、講義資料等】
「多様体の基礎」松本幸夫著 東京大学出版会 (1998年)
「多様体入門」松島与三著 裳華房 (1965年)
「多様体」服部晶夫著 岩波書店 (1989年)
【成績評価の基準及び方法】
期末試験、演習問題の解答状況により評価する。詳細は講義中に指示する。
【関連する科目】
ZUA.B301 : 幾何学第一
ZUA.B201 : 集合と位相第一
ZUA.C201 : 解析概論第一
MTH.B301 : 幾何学第一
MTH.B302 : 幾何学第二
【履修の条件(知識・技能・履修科目等)】
「集合と位相第二」、「解析概論第一」を履修済みであることが望ましい。
「幾何学第一」(ZUA.B301)を同時に履修することが強く推奨される。(未履修の場合)