講義名 集合と位相第一（Set and Topology I）　　科目コード：ZUA.B201
開講学期 １-2Q 単位数 2--0--0
担当　遠藤　久顕　教授：本館２階２０４号室（内線２２０８）


【講義の概要とねらい】
　本講義の主要なテーマは集合と写像に関する基本的な概念と性質、順序集合とユークリッド空間および距離空間である。集合に関する基本的な演算を解説した後、集合の間の写像に関する基本的な概念（単射、全射、全単射）を学ぶ。次に、二項関係、特に同値関係について解説し、同値類および商集合について学ぶ。次に集合の間の相等について解説し、いわゆる濃度について学ぶ。次に順序集合、整列集合と帰納的順序集合を導入し、これらの概念の応用を解説する。また、ユークリッド空間に関する基本的事項を解説し、これまで慣れ親しんできた連続写像の概念が、開集合の言葉で簡潔に言い表せることを学ぶ。最後に距離空間の概念を定義し、写像の連続性がユークリッド空間の場合とまったく同様に言い換えられることをみる。本科目は演習科目「集合と位相演習」とセットで履修することが強く推奨される。
　集合と写像は数学および周辺科学における基本言語であり、適用範囲の広い概念である。一方でこれらは抽象的な概念であり、必ずしも直感がはたらきやすいものではないため、多くの初学者にとっては理解しにくいものである。本講義では、集合と写像の基本的な性質を導くために、直感に頼ることの少ない純粋な論証を行い、数学における論理の進め方の典型例も学ぶ。

【到達目標】
・ド・モルガンの法則を自由に使えるようになること
・与えられた写像が全射になるか、単射になるか、全単射になるか判定できるようになること
・与えられた写像の像と逆像を求められるようになること
・同値関係と商集合の具体例を扱えるようになること
・連続の濃度と可算の濃度の違いを理解すること
・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ強い性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること

【キーワード】
集合、写像、像と逆像、直積集合、二項関係、同値関係、商集合、集合の濃度、可算濃度と非可算濃度
順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式による講義と問題演習形式の講義を交互に行う

【授業計画・課題】

第1回	集合の定義、例、和集合、共通部分、部分集合、補集合
第2回	ド・モルガンの法則、分配法則、集合の間の写像
第3回	像と逆像、写像の合成、直積集合
第4回	集合の間の対応、添え字づけられた集合族
第5回	二項関係、同値関係、同値類、商集合
第6回	集合の濃度、濃度の大小関係、可算集合
第7回	連続の濃度、非可算集合、巾集合の濃度
第8回	理解度確認
第9回	順序関係、全順序、整列集合、整列集合に関する基本性質
第10回	帰納的順序集合、ツォルンの補題
第11回	順序数、濃度の比較定理
第12回	整列可能定理、整列可能定理と選択公理の同値性
第13回	ツォルンの補題の応用例
第14回	ユークリッド空間、距離空間、開集合と閉集合
第15回	距離空間における基本的概念

課題は講義中に指示する

【教科書】
「集合と位相」　内田伏一著　裳華房 (1986年)

【参考書、講義資料等】
「集合と位相」　斎藤毅著　東京大学出版会 (2009年)
「集合・位相入門」　松坂和夫著　岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」　森田茂之著　朝倉書店 (2002年)

【成績評価の基準及び方法】
中間試験（およそ50%）および期末試験(およそ50%)

【関連する科目】
MTH.B201 ： 位相空間論第二
MTH.B202 ： 位相空間論第三
ZUA.B202 ： 集合と位相演習

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
「微分積分学第一・演習」、「微分積分学第二」、「同演習」、「線形代数学第一・演習」、「線形代数学第二」、「同演習」を履修済みであることが望ましい。
「集合と位相演習」を同時に履修することが強く推奨される（未履修の場合）