講義名 代数学演習B第一（Excercises in Algebra B I） 科目コード：ZUA.A302
開講学期 １-2Q 単位数 0--2--0
担当 内藤 聡 教授：本館２階２３２号室（内線２２０６）
【講義の概要とねらい】
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・(可換) 環のイデアル、単項イデアル、素イデアル、極大イデアル、剰余環の概念を正しく理解し、使う事ができる。
・準同型定理と中国剰余定理を理解し、正しく使う事ができる。
・ユークリッド整域と (その一般化である) 単項イデアル整域の諸性質を説明する事ができる。
・一意分解環における素元と既約元の概念を理解し、正しく使う事ができる。
・(可換) 環の局所化の概念を理解し、また、イデアルに対する諸演算を正しく使う事ができる。
・イデアルの準素分解を理解し、使う事ができる。
・ネーター環の定義とその諸性質を理解する。
・(ネーター) 環上の加群の概念とその諸性質を理解し、特に単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理を正しく使う事ができる。
【到達目標】
特に重要な概念である、整数環、多項式環、二項演算、同値関係、同値類、整数環の剰余環、多項式環の剰余環、環の公理、部分環、イデアル、剰余環、環の準同型、環の準同型定理、等を理解し、習熟する事。また、これらについての基本的な性質を自力で証明できる様になる事。
【キーワード】
環、イデアル、単項イデアル、剰余環、素イデアル、極大イデアル、単項イデアル整域、環の局所化、準素イデアル、ネーター環、ヒルベルトの基底定理、環上の加群、単項イデアル整域上の加群、単因子、有限生成加群、ジョルダン標準形
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
「代数学第一」 で解説した内容に関する問題演習
【授業計画・課題】
| 第1回 | 以下の内容に関する問題演習：可逆元・零因子・べき零元と、整域 |
| 第2回 | 以下の内容に関する問題演習：イデアルと単項イデアル |
| 第3回 | 以下の内容に関する問題演習：素イデアル・極大イデアルと剰余環 |
| 第4回 | 以下の内容に関する問題演習：準同型定理および中国剰余定理 |
| 第5回 | 以下の内容に関する問題演習：ユークリッド整域 |
| 第6回 | 以下の内容に関する問題演習：単項イデアル整域 |
| 第7回 | 以下の内容に関する問題演習：一意分解環、素元と既約元 |
| 第8回 | 以下の内容に関する問題演習：理解度確認 |
| 第9回 | 以下の内容に関する問題演習：環の局所化とイデアルの諸演算 |
| 第10回 | 以下の内容に関する問題演習：準素イデアルと、イデアルの準素分解 |
| 第11回 | 以下の内容に関する問題演習：ネーター環とヒルベルトの基底定理 |
| 第12回 | 以下の内容に関する問題演習：環上の加群と自由加群 |
| 第13回 | 以下の内容に関する問題演習：単項イデアル整域上の加群と単因子論 |
| 第14回 | 以下の内容に関する問題演習：有限生成加群の構造定理 |
| 第15回 | 以下の内容に関する問題演習：ジョルダンの標準形と、その計算方法理解度確認 |
課題は講義中に指示する