講義名 集合と位相演習(Excercises in Set and Topology) 科目コード:ZUA.B202
開講学期 1-2Q 単位数 0--2--0
担当 遠藤 久顕 教授:本館2階204号室(内線2208)
河井 真吾 助教:本館3階314A号室(内線2215)
新田 泰文 助教:本館2階236号室(内線3399)
【講義の概要とねらい】
本科目は「集合と位相第一(ZUA.B201)」の演習である。「集合と位相第一」で扱われる講義の内容について、問題演習を行う。
【到達目標】
・ド・モルガンの法則を自由に使えるようになること
・与えられた写像が全射になるか、単射になるか、全単射になるか判定できるようになること
・与えられた写像の像と逆像を求められるようになること
・同値関係と商集合の具体例を扱えるようになること
・連続の濃度と可算の濃度の違いを理解すること
・全順序と半順序の違いを理解すること
・整列集合の持つ強い性質を理解すること
・ツォルンの補題のいくつかの応用を理解すること
・整列可能定理、ツォルンの補題、選択可能公理の同値性を理解すること
・ユークリッド空間と距離空間における基本的な性質を理解すること
【キーワード】
集合、写像、像と逆像、直積集合、二項関係、同値関係、商集合、集合の濃度、可算濃度と非可算濃度
順序集合、全順序と半順序、整列集合、ツォルンの補題、選択公理、整列可能定理、ユークリッド空間、距離空間、連続写像
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
「集合と位相第一」で解説した内容に関する問題演習
【授業計画・課題】
第1回 | 以下の内容に関する問題演習:集合の定義、例、和集合、共通部分、部分集合、補集合 |
第2回 | 以下の内容に関する問題演習:ド・モルガンの法則、分配法則、集合の間の写像 |
第3回 | 以下の内容に関する問題演習:像と逆像、写像の合成、直積集合 |
第4回 | 以下の内容に関する問題演習:集合の間の対応、添え字づけられた集合族 |
第5回 | 以下の内容に関する問題演習:二項関係、同値関係、同値類、商集合 |
第6回 | 以下の内容に関する問題演習:集合の濃度、濃度の大小関係、可算集合 |
第7回 | 以下の内容に関する問題演習:連続の濃度、非可算集合、巾集合の濃度 |
第8回 | 理解度確認 |
第9回 | 以下の内容に関する問題演習:順序関係、全順序、整列集合、整列集合に関する基本性質 |
第10回 | 以下の内容に関する問題演習:帰納的順序集合、ツォルンの補題 |
第11回 | 以下の内容に関する問題演習:順序数、濃度の比較定理 |
第12回 | 以下の内容に関する問題演習:整列可能定理、整列可能定理と選択公理の同値性 |
第13回 | 以下の内容に関する問題演習:ツォルンの補題の応用例 |
第14回 | 以下の内容に関する問題演習:ユークリッド空間、距離空間、開集合と閉集合 |
第15回 | 以下の内容に関する問題演習:距離空間における基本的概念 |
課題は講義中に指示する
【教科書】
「集合と位相」 内田伏一著 裳華房 (1986年)
【参考書、講義資料等】
「集合と位相」 斎藤毅著 東京大学出版会 (2009年)
「集合・位相入門」 松坂和夫著 岩波書店 (1968年)
「集合と位相空間」 森田茂之著 朝倉書店 (2002年)
【成績評価の基準及び方法】
小テスト (およそ30%), 演習問題の解答状況 (およそ70%))
【関連する科目】
ZUA.B201 : 集合と位相第一
MTH.B201 : 位相空間論第一
MTH.B202 : 位相空間論第二
【履修の条件(知識・技能・履修科目等)】
微分積分学第一・演習、微分積分学第二、同演習、線形代数学第一・演習、線形代数学第二、同演習を履修済みであることが望ましい。
「集合と位相第一」を同時に履修することが強く推奨される(未履修の場合)