代数学特論D

【講義の概要とねらい】
　本講義の主要なテーマは、群の表現論における基本的な概念とその諸性質である。本講義では、先ず、群の既約表現、表現の準同型環、そしてそれらに関連してシューアの補題を説明する。次に、(有限) 群の表現の指標を導入し、それらの間の直交関係を説明する。さらに、有限群の群環の既約分解の記述を解説する。最後に、(有限) 群の表現のテンソル積と誘導表現を導入し、それらに関連してフロベニウスの相互律を説明する。本講義は、直前に行われる「代数学特論 C」に続くものである。
　(有限) 群の表現論は、環上の加群についての一般理論の典型例であるだけではなく、その結果や手法は数学以外に物理学や化学にも広く応用されるものである。本講義の目的は、(有限) 群の表現論における基本的な手法に慣れ親しみ、それらを正しく使えるようになる事である。

【到達目標】
本講義を履修する事により、以下の知識と能力を習得する。
・群の既約表現の概念と表現の準同型環の概念を理解し、シューアの補題を使う事ができる。
・(有限) 群の表現の指標の定義を理解し、それらの間の直交関係を使う事ができる。
・有限群の群環の既約分解の記述を理解する。
・(有限) 群の表現のテンソル積と誘導表現を理解し、フロベニウスの相互律を使う事ができる。

【キーワード】
シューアの補題、マシュケの定理、指標、指標の直交関係、群環の既約分解、表現のテンソル積、誘導表現、フロベニウスの相互律

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式による講義に問題演習を取り込む。

【授業計画・課題】

第1回	シューアの補題とマシュケの定理
第2回	交換子団と準同型環
第3回	群の表現の指標
第4回	指標の内積と直交関係
第5回	有限群の群環の既約分解
第6回	群の表現のテンソル積
第7回	群の誘導表現
第8回	フロベニウスの相互律

課題は講義中に指示する

【教科書】
「代数学 II 環上の加群」桂利行著東大出版

【参考書、講義資料等】
特になし。

【成績評価の基準及び方法】
講義中に提示する演習問題の解答をレポートとして提出してもらい、その解答状況による。

【関連する科目】
MTH.A403 ：代数学特論C
MTH.A301 ：代数学第一
MTH.A302 ：代数学第二

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
特になし。