講義名　位相幾何学（Topology）　　科目コード：MTH.B341
開講学期　４Q　単位数　2--0--0
担当　遠藤　久顕　教授：本館２階２０４号室（内線２２０８）

【講義の概要とねらい】
　本講義の主な題材は、ホモロジー群および基本群に関する基本的な諸概念である。ホモトピーや変位レトラクションといった概念を紹介した後、単体、単体複 体、単体写像、重心細分、単体近似などの単体複体に関連する基本的な概念を解説する。次に、単体複体の鎖群とホモロジー群や単体写像の誘導準同型を導入 し、ホモロジー群のホモトピー不変性を証明する。最後に、位相空間の基本群を定義し、Seifert-van Kampenの定理を述べる。
　ホモロジー群と基本群は位相幾何学における最も基本的な概念であり、位相不変量の典型的な例でもある。本講義では、ホモロジー群と基本群を通して、不変量やその関手性について学ぶ。

【到達目標】
・与えられた単体の集合が単体複体であるかどうか、判定できるようになること
・単体近似定理の正確な内容と意義を理解すること
・与えられた単体複体のホモロジー群が計算できるようになること
・簡単な位相空間の基本群が計算できるようになること

【キーワード】
ホモトピー、変位レトラクト、単体複体、単体写像、単体近似、鎖群、境界準同型、ホモロジー群、誘導準同型、Euler数、Mayer-Vietoris完全系列、ホモトピー不変性、ループ、基本群、Seifert-van Kampenの定理

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式による授業を行う。

【授業計画・課題】

第1回	あらまし、積空間、商空間、ホモトピー
第2回	ホモトピー同値、変位レトラクト、可縮、単体、面、重心座標
第3回	単体複体、部分複体、多面体、単体分割、抽象単体複体
第4回	幾何学的実現、単体写像、同型、重心、可接合、結
第5回	重心細分、開星状体、単体近似、Lebesgueの補題
第6回	単体近似定理、向き、鎖群、境界準同型
第7回	輪体、境界輪体、ホモロジー群、Betti数、Euler数
第8回	Euler-Poincareの公式、錘複体、非輪状、ホモロジー群の計算
第9回	鎖写像、ホモロジー群の間の誘導準同型、関手性
第10回	連結準同型、Mayer-Vietoris完全系列
第11回	積複体、鎖ホモトープ、ホモロジー群のホモトピー不変性(1)
第12回	ホモロジー群のホモトピー不変性(2)、ホモロジー群の応用
第13回	道、ループ、道の積、逆の道、基本群
第14回	誘導準同型、基点の取り替え、基本群のホモトピー不変性
第15回	群の自由積、Seifert-van Kampenの定理

課題は講義中に指示する

【教科書】
田村一郎「トポロジー」岩波書店

【参考書、講義資料等】
菅原正博「位相幾何学」培風館
中岡稔「位相幾何学 ホモロジー論」共立出版

【成績評価の基準及び方法】
期末試験(70%), 問題演習(30%)．

【関連する科目】
MTH.B301 ： 幾何学第一
MTH.B302 ： 幾何学第二

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
「位相空間論第一(MTH.B201)」、「位相空間論第二(MTH.B202)」、「位相空間論第三(MTH.B203)」、「位相空間論第四(MTH.B204)」、「代数学概論第一(MTH.A201)」、「代数学概論第二(MTH.A202)」、「代数学概論第三(MTH.A203)」、「代数学概論第四(MTH.A204)」を 履修済みであることが望ましい。