講義名　 函数解析（Functional Analysis）　　科目コード：MTH.C351
開講学期　3Q　単位数 2--0--0
担当　柳田　英二　教授：本館２階２０２号室（内線２４５３）


【講義の概要とねらい】
　本講義の主要なテーマは無限次元線形空間とそれらの間の線形作用素に関する基本的な概念と性質である。無限次元線形空間と線形作用素に関する基本的な概念 （ノルム空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間、有界作用素）を導入した後、有限次元の場合との違いを解説し、それらの基本的性質を学ぶ。次に、「共役」の 概念を導入し、それらの無限次元における重要性を線形汎関数の表現定理、弱位相等を通して学ぶ。最後にコンパクト自己共役作用素のスペクトル理論を解説 し、具体的な問題への応用を幾つかの例を通して学ぶ。
　函数解析は、無限次元空間およびそれらの間の写像（作用素）に関する代数的、幾何学的、位 相的な構造を調べる総合的な分野である。本講義では、函数解析学の基本的な事柄とその応用を学ぶ。抽象的な概念や定理が、具体的な問題をエレガントに解決 する様をいくつかの例を通して味わってほしい。

【到達目標】
次の項目を理解する．
・無限次元空間における線形構造と位相構造の重要性．
・バナッハ空間と有界線形作用素の基本的性質．
・ヒルベルト空間の幾何学的構造．
・バナッハの３大定理の重要性．
・無限次元空間における「共役」という概念の重要性．
・コンパクト作用素のスペクトル理論を通して無限次元空間におけるコンパクト性の重要性．
・具体的な問題が、抽象的な概念や定理を用いて解決されること．

【キーワード】
ノルム空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間、線形作用素、バナッハの定理、共役空間、レゾルベント、スペクトル、コンパクト作用素

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式による．

【授業計画・課題】

第1回 ベクトル空間，ノルム空間
第2回 バナッハ空間，完備化、例
第3回 線形作用素、有界線形作用、閉作用素、例
第4回 逆作用素、ノイマン級数、例
第5回 内積空間、ヒルベルト空間、直交射影、射影定理
第6回 フーリエ級数、ベッセルの不等式、完全正規直交系、パーセバルの関係
第7回 開写像定理、閉グラフ定理
第8回 一様有界性原理、例
第9回 双対空間、共役空間、弱位相、弱収束
第10回 共役作用素，自己共役、Hilbert-Schmidt 型積分作用素
第11回 ハーン・バナッハの定理、位相的補空間
第12回 コンパクト作用素、アスコリ-アルツェラの定理、例
第13回 スペクトル、レゾルベント
第14回 リースの理論，交代定理
第15回 微分方程式への応用，理解度確認


課題は講義中に指示する

【教科書】
「関数解析」増田久弥，裳華房

【参考書、講義資料等】
特になし

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題および期末試験などにより，総合的に評価する。詳細は講義中に指示する．

【関連する科目】
MTH.C305 ： 実解析第一
MTH.C306 ： 実解析第二
MTH.C211 ： 応用解析序論第一
MTH.C212 ： 応用解析序論第二
ZUA.C306 ： 解析学演習Ｃ第一

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
「実解析第一」、「実解析第二」、「解析学演習C第一」を履修済みであることが望ましい。