【講義題目】
粘性解の基礎理論 -外力付平均曲率流のNeumann問題を題材に-

【講義の概要とねらい】
　本講義の主要なテーマは，楕円型，放物型に属する非線形偏微分方程式を解析するための方法論の一つである粘性解理論である．粘性解理論は，1980年代前半にCrandallとLionsにより導入された弱解理論の一つで，最適制御理論に現れる完全非線形偏微分方程式に分類されるハミルトン・ヤコビ方程式や界面運動に現れる平均曲率流方程式を代表とする幾何学流を解析するための手段として標準的なものである．
　内容としては，粘性解理論の基礎（比較原理，存在，安定性，解公式）について学び，その上で比較的最近の話題である外力付平均曲率流の等高面方程式のノイマン境界値問題の解の漸近挙動について理解することを目指す．講義はなるべく事前の知識がなくとも理解できる内容にしたい．

【到達目標】
(a) 粘性解の定義と整合性について理解すること
(b) 1階偏微分方程式に対する基礎理論（比較原理，解の存在，L^\inftyノルムに対する解の安定性）について証明を理解すること
(c) Crandall-Ishiiの補題の主張について理解して，２階偏微分方程式に対する比較原理に応用できるようになること
(d) 解の表現公式について理解すること
(e) 解の正則性（特に，解のリプシッツ評価）について理解すること
(f) 外力付平均曲率流の等高面方程式の時間大域的リプシッツ評価と長時間挙動について理解すること

【キーワード】
粘性解理論，幾何学流，界面運動，等高面法，ハミルトン・ヤコビ方程式，平均曲率流方程式

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式で行う。また、適宜レポート課題を出す．

【授業計画・課題】

課題は講義中に指示する

【授業時間外学修（予習・復習等】
学修効果を上げるため，教科書や配布資料等の該当箇所を参照し，「毎授業」授業内容に関する 予習と復習（課題含む）をそれぞれ概ね100分を目安に行うこと．

【教科書】
使用しない

【参考書、講義資料等】
Yoshikazu Gig, Surface Evolution Equations, Birkhauser (2006)，
Hung Vinh Tran，Hamilton-Jacobi Equations: Theory and Application, American Mathematical Society (2021)

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題 (100%) による。

【関連する科目】
MTH.C341 ： 微分方程式概論第一
MTH.C342 ： 微分方程式概論第二

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
なし