【講義題目】
Uhlenbeckコンパクト性からの幾何解析入門

【講義の概要とねらい】
四次元多様体論のDonaldson理論の幾何解析的側面の解説を行う．特に，モジュライ空間の(非)コンパクト性について，その背後のカラクリであるバブル解析を基礎から説明したい．バブル解析の典型であるUlhenbeckコンパクト性を詳しく説明することで，幾何解析そのものへの入門とすることも目論んでいる．
四次元多様体には，その幾何に由来する非線型偏微分方程式として反自己双対方程式が定義される．その非線型偏微分方程式の解がインスタントンであり，インスタントンの全てからなる空間がモジュライ空間である．四次元多様体のトポロジーとその上のインスタントンのモジュライ空間の幾何との蜜月の関係を喝破したのがDonaldsonであった．四次元多様体を深く調べるには反自己双対方程式がわからねばならない．その解析の基礎を与えるのがUhlenbeckのバブル解析である．本講義では，幾何解析とゲージ理論の基礎から始めて，Uhlenbeckコンパクト性の証明まで最速で到達することを目指す．

【到達目標】
・接続や曲率がわかって,反自己双対方程式が書けるようになること．
・ゲージ変換とは何かを理解すること．
・Sobolev空間は怖くないとわかること．
・共形不変性とインスタントンのモジュライ空間の非コンパクト性の関係を理解すること．

【キーワード】
反自己双対方程式・インスタントン・モジュライ空間・Uhlenbeckコンパクト性・バブル

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式で行う．

【授業計画・課題】

課題は講義中に指示する

【教科書】
使用しない

【参考書、講義資料等】
講義中に指示する．.

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題(100%)による．

【関連する科目】
MTH.B341 ： 位相幾何学
MTH.B301 ： 幾何学第一
MTH.B302 ： 幾何学第二
MTH.B331 ： 幾何学続論
MTH.C305 ： 実解析第一
MTH.C306 ： 実解析第二
MTH.C351 ： 函数解析

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
可微分多様体についての基礎知識