講義名 数学最先端特別講義F（Special lectures on current topics in Mathematics F）　　科目コード：MTH.E636

【講義題目】
変分問題入門 --- ミニマックス法と非線形楕円型方程式 ---

【講義の概要とねらい】
変分的手法(直接法)による非線形楕円型方程式, ハミルトン系の扱いについて基本的事項を中心に解説する. 特に最小化法, 峠の定理等のミニマックス法に重点をおく.

非線形問題の研究においては無限次元空間での解析が欠かせない.
この講義ではヒルベルト空間における非線形解析の基本的事項から始め, 最小化法, ミニマックス法等の変分的手法について解説する. 非線形楕円型方程式等への応用を重視する.

【到達目標】
- 変分法による非線形楕円型方程式の特徴づけ
- ヒルベルト空間における非線形作用素の基本的な扱い (フレッシェ微分等)
- ヒルベルト空間における変形理論 (deformation theory)
- 最小化法, 峠の定理等のミニマックス法
- ミニマックス法の非線形楕円型方程式への応用, 特に存在定理

【キーワード】
変分問題, 非線形楕円型方程式, 最小化法, 峠の定理, ミニマックス法

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式で行う。適宜レポート課題を出題する．

【授業計画・課題】

第1回

以下の内容について解説する予定である. - 講義のプラン, 前提とする関数空間 (Sobolev 空間等) に関する基本的事項 - 変分法による非線形楕円型方程式の解の特徴付け - ヒルベルト空間における非線形作用素に関する基本的事項 (フレッシェ微分等) - ヒルベルト空間における変形理論 (deformation thoery) - 最小化法, ミニマックス法 (峠の定理等) - 非線形楕円型方程式に対応する汎関数と Palais-Smale 条件 - 非線形楕円型方程式に対応する汎関数の幾何的性質とミニマックス法 - R^N における楕円型方程式の扱い - 特異摂動問題への応用 (イントロダクション)

課題は講義中に指示する

【教科書】
指定しない

【参考書、講義資料等】
- P.H. Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations, AMS,1986.
- 田中和永, 変分問題入門, 岩波書店, 2010.

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題 (100%) による。

【関連する科目】
MTH.C351 ： 函数解析

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
なし