講義名 数学最先端特別講義N（Special lectures on current topics in Mathematicｓ N） 科目コード：MTH.E644
開講学期 ３Q 単位数 2--0--0
担当 直井 克之 非常勤講師（東京農工大学大学院工学研究院 准教授）
【講義の概要とねらい】
カレント代数とは、有限次元単純リー環と 1 変数多項式環のテンソル積として定義されるリー代数である。
カレント代数の表現論の研究は、元々は量子ループ代数の有限次元表現を調べるために始められたものであるが、近年では、アフィン最高ウエイト圏構造や
Macdonald 多項式との関連からも、様々な研究が成されている。
この講義では、カレント代数の表現論に関する幾つかの話題について解説を行う。
カレント代数の表現は完全可約ではないため、その研究は必ずしも容易ではない。
この講義では、カレント代数の重要な表現の例である局所/大域 Weyl 加群について詳しく述べると共に、「カレント代数の次数付き表現の圏はアフィン最高ウエイト圏である」という結果について出来るだけ詳しい解説を行う事が目標である。
この解説を通して、カレント代数の表現を調べる際に用いられる様々な手法について紹介する事が、本講義の目的である。
【到達目標】
・生成元と関係式を用いてカレント代数の表現を調べる手法について、理解する。
・カレント代数の重要な表現の例である局所/大域 Weyl 加群の構造を理解する。
・カレント代数の次数付き表現の圏の、アフィン最高ウエイト圏構造について理解する。
【キーワード】
カレント代数、局所 Weyl 加群, 大域 Weyl 加群、Demazure 加群、アフィン最高ウエイト圏
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
通常の講義形式による講義; 適宜、レポート課題を課す。
【授業計画・課題】
| 第1回 | カレント代数およびその表現の基礎知識 1 |
| 第2回 | カレント代数およびその表現の基礎知識 2 |
| 第3回 | カレント代数およびその表現の基礎知識 3 |
| 第4回 | 局所 Weyl 加群 1 |
| 第5回 | 局所 Weyl 加群 2 |
| 第6回 | 局所 Weyl 加群 3 |
| 第7回 | 大域 Weyl 加群 1 |
| 第8回 | 大域 Weyl 加群 2 |
| 第9回 | 大域 Weyl 加群 3 |
| 第10回 | アフィン最高ウエイト圏 1 |
| 第11回 | アフィン最高ウエイト圏 2 |
| 第12回 | アフィン最高ウエイト圏 3 |
| 第13回 | 次数付き表現の圏のアフィン最高ウエイト圏構造 1 |
| 第14回 | 次数付き表現の圏のアフィン最高ウエイト圏構造 2 |
| 第15回 | 次数付き表現の圏のアフィン最高ウエイト圏構造 3 |
課題は講義中に指示する
【教科書】
特になし
【参考書、講義資料等】
特になし
【成績評価の基準及び方法】
レポート課題 (100%) の解答状況による; 詳細は講義中に指示する。
【関連する科目】
MTH.A201 ： 代数学概論第一
MTH.A202 ： 代数学概論第二
MTH.A203 ： 代数学概論第三
MTH.A204 ： 代数学概論第四
MTH.A301 ： 代数学第一
MTH.A302 ： 代数学第二
【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
予備知識を気にせず、わからないことは率直に質問する方がよい