数学特殊講義

【講義タイトル】
力学系Mordell–Lang問題について

【講義の概要とねらい】
　本講義では，数論的力学系の中でも，特に力学系モーデル・ラング予想と呼ばれる問題に焦点をあてる．まずは，アーベル多様体上のモーデル・ラング予想 (Faltingsの定理)について紹介し，その力学系アナロジーとして，軌道と部分多様体の共通部分の構造を予想する力学系モーデル・ラング予想を紹介する．次に，一次元の場合として，線形回帰数列が0になる周期性を言及するSkolem-Mahler-Lechの定理を紹介する．続いて，高次元の反例としてScanlon-Yasufukuの結果を述べる．最後に，高次元での肯定的結果を紹介する．第一は，Bell-Ghioca-Tuckerによるエタール射の場合である．第二は，Xieが最近得た結果で，Favre-Jonssonにより構築された付値的力学系用コンパクト化を駆使している．

力学系モーデル・ラング問題は，まだ正しい定式化が完成されていないようなテーマであるため，反例を見つけるのも証明するのも研究成果となり，話題が豊富である．また，近年の付値を使った理論は2次元までとなっているため，高次元化の理論構築が望まれる．具体例からのアプローチも理論的なアプローチも可能な研究テーマの一端を本講義で紹介することで，力学系モーデル・ラング問題やその周辺のテーマに興味を持って欲しい．

【到達目標】
　・アーベル多様体上でのモーデル・ラング予想の主張を理解すること
　・p進解析関数，及び線形回帰数列に関するSkolem-Mahler-Lechの定理を理解すること
　・付値を使った力学系に適したコンパクト化，及びこれの力学系モーデル・ラング問題との関連を理解すること

【キーワード】
数論的力学系，アーベル多様体，モーデル・ラング予想，線形回帰数列，p進解析関数，付値を使ったコンパクト化

【学生が身につける力】
専門力

【授業の進め方】
通常の講義形式で行う．また，適宜レポート課題を出す．

【授業計画・課題】

第1回	以下の内容を順に解説する予定である．　・アーベル多様体上のモーデル・ラング予想 (Faltingsの定理) 　・力学系モーデル・ラング予想の定式化　・p進解析関数の紹介　・1次元の場合：線形回帰数列のSkolem-Mahler-Lechの定理　・高次元の反例：Scanlon-Yasufukuの例　・力学系モーデル・ラング予想の定式化 (第二弾) 　・エタール射の場合：Bell-Ghioca-Tuckerの定理　・アフィン平面の付値を使った，Favre-Jonssonによる力学系用コンパクト化　・力学系用コンパクト化を用いたXieの結果：(f(x,y),g(x,y))の場合

課題は講義中に指示する

【教科書】
使用しない

【参考書、講義資料等】
「The Dynamical Mordell-Lang Conjecture」 Bell, Ghioca, Tucker著，AMS (2016年)
「The Valuative Tree」 Favre, Jonsson著，Springer LNM 1853 (2004年)

【成績評価の基準及び方法】
レポート課題 (100%) による．

【関連する科目】
なし

【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
特になし