講義名 数学特別講義D（Special lectures on advanced topics in Mathematics D） 科目コード：MTH.E434
開講学期 ３，４Q 単位数 2--0--0
担当 Kalman Tamas 准教授：本館２階２０８号室 (内線：２２１７）
【講義の概要とねらい】
本講義では、結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、Morse 理論、Floer
ホモロジー等の概念を理解するとともに、基本的な性質を自力で証明できることを目標とする。理解の定着のために、講義中に演習問題を提示するので、レポー
トとして提出すること。
この講義の目的は、受講生が研究を始められるよう、低次元トポロジーにおける重要事項を解説することである。
【到達目標】
本講義の主要なテーマは結び目と三次元多様体に対応する Floer ホモロジー群である。 Floer
ホモロジーは現代位相幾何学および周辺科学における先進的な分野であり、適用範囲の広い概念である。本講義では、低次元トポロジーの基礎、その後
Heegaard Floer homology、さらにその応用を学ぶ。
【キーワード】
結び目、絡み目、三次元多様体、Alexander 多項式、種数とファイバー性、Morse 理論、Floer ホモロジー
【学生が身につける力】
専門力
【授業の進め方】
毎週講義で理論を説明する。レポート問題を解いてもらう。
【授業計画・課題】
| 第1回 | 結び目、絡み目、その種数とファイバー性、結び目 Floer ホモロジーの性質 |
| 第2回 | Alexander 多項式（無限巡回被覆、Rolfsen’s surgical view、Seifert 行列）、Seifert の定理 |
| 第3回 | Neuwirth の定理、Alexander 多項式の Fox calculus による定義 |
| 第4回 | Kauffman’s state model、Conway のスケイン関係式、grid diagrams |
| 第5回 | 結び目 Floer ホモロジーの組み合わせ的な定義、次数、Euler 標数 |
| 第6回 | d^2=0 や不変性の証明、一般的な Floer ホモロジーの概要 |
| 第7回 | Morse 函数、Morse の補題、sublevel set の変化、三次元多様体の Heegaard 分解 |
| 第8回 | 勾配流、横断性、モジュライ空間とその向き |
| 第9回 | コンパクト性 (broken flow lines)、Morse 複体、貼り合わせ |
| 第10回 | Morse ホモロジーと特異ホモロジーとの同型 |
| 第11回 | シンプレクティック幾何学、ラグランジュ部分多様体、action functional |
| 第12回 | 擬正則曲線、ラグランジュ部分多様体の交叉理論、Maslov 指数 |
| 第13回 | Heegaard 図式、spin^c 構造、閉多様体の Heegaard Floer ホモロジー |
| 第14回 | d^2=0 や不変性、結び目 Floer ホモロジーの最初の定義 |
| 第15回 | sutured Floer homology、種数およびファイバー性の決定の証明 |
課題は講義中に指示する
【教科書】
特になし
【参考書、講義資料等】
講義の概略として, Juhasz 氏の論文 (arXiv:1310.3418) と Manolescu 氏の論文 (http://arxiv.org/abs/1401.7107) を使う。
Morse 理論については, Hutchings 氏の講義ノートが参考になる。(http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/276-2010/mfp.ps)
【成績評価の基準及び方法】
レポートによって評価する。
【関連する科目】
MTH.B301 ： 幾何学第一
MTH.B302 ： 幾何学第二
MTH.B331 ： 幾何学続論
MTH.B341 ： 位相幾何学
MTH.C301 ： 複素解析第一
【履修の条件（知識・技能・履修科目等）】
複素解析 (リーマンの写像定理まで) や代数的位相幾何学 (ホモロジー, ホモトピー等), 多様体論 (例えば, ベクトル場の軌道曲線) が役に立ちますが, 好奇心を持つことが一番大事でしょう.