東工大数理解析セミナー

第69回

2020年01月24日 (金) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Jiang Xu 氏(Nanjing University of Aeronautics and Astronautics)
The optimal time-decay for compressible Navier-Stokes equations in the critical Lp framework

The global existence issue for the isentropic compressible Navier-Stokes equations in the critical regularity framework has been addressed by R. Danchin more than fifteen years ago. However, whether (optimal) time-decay rates could be shown in general critical spaces and any high dimensions has remained an open question. In this talk, we survey recent results not only in the L2 critical framework but also in the more general Lp critical framework, which are based on those collaborative works with R. Danchin and Z. Xin.

第68回

2019年12月4日 (水) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Ulrich Menne 氏(国立台湾師範大学)
A priori diameter bounds for solutions to a variety of Plateau problems

Plateau's problem in Euclidean space may be given many distinct formulations with solutions to most of them admitting an associated varifold. This includes Reifenberg's approach based on sets and Čech homology as well as Federer and Fleming's approach using integral currents and their homology. Thus, we employ the unifying setting of varifolds to prove a priori bounds on the geodesic diameter in terms of boundary behaviour. A central challenge in this process is to determine a suitable notion of connectedness; in fact, there exist several possible definitions distinct already in the case of varifolds associated to smooth immersions. This is ongoing joint work with C. Scharrer.

第67回

2019年11月29日 (金) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Chunjing Xie 氏(上海交通大学)
Uniform structural stability of Hagen-Poiseuille flows in a pipe

We discuss the recent progress on nonlinear structural stability of Hagen-Poiseuille flows, in particular, the uniform stability of these flows with respect to the mass flux. The key ingredient of the analysis is the linear structural stability of Hagen-Poiseuille flows in a pipe. This linear problem closely relates to dynamical stability of Hagen-Poiseuille flows. The existence of a class of large solutions in a pipe will also be addressed even when the external force is large.

第66回

2019年11月18日 (月) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Bongsuk Kwon 氏(蔚山科学技術大学校)
Plasma solitary waves of the Euler-Poisson system

We discuss the existence and asymptotic behavior of plasma solitary waves of the Euler-Poisson system which arises in the dynamics of plasmas. We first show the Euler-Poisson system admits a two-parameter family of the traveling solitary wave solutions, under the super-ion-acoustic condition, and show that the solitary wave converges to that of the associated KdV equation as the traveling speed tends to the ion-acoustic speed. As solutions of the KdV equation are dominated by their solitary waves, one may expect a similar result for the Euler-Poisson system with more general data. As a first step, we investigate the linear convective stability of the solitary waves of the Euler-Poisson system. If time permits, we shall discuss some key features of the proof of the linear stability. This is joint work with J. Bae (NCTS at National Taiwan University).

第65回

2019年10月29日 (火) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Pablo Padilla 氏(Universidad Nacional Autonoma de Mexico)
Infinite dimensional dynamical systems with variational structures

We study the global attractor of the Allen-Cahn equation with a geometric constraint on an oval surface. After proving the existence of the attractor we present numerical evidence to characterize it.

第64回

2019年9月30日 (月) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

高橋 悠樹 氏(東北大学)
One and two dimensional quasicrystal models and related topics

We will first discuss the Fibonacci Hamiltonian, which is the most prominent one-dimensional quasicrystal model. The Fibonacci Hamiltonian has been studied intensively for the past thirty years and now it is known that the spectral properties of the Fibonacci Hamiltonian can be described by the so-called trace map. We then discuss the Square Fibonacci Hamiltonian and the Labyrinth model. They are two-dimensional quasicrystal models that are constructed by two copies of one-dimensional models. The spectra of the Square Fibonacci Hamiltonian and the Labyrinth model are given by sums and products of two Cantor sets, respectively. We will show that their spectra are intervals for sufficiently small coupling constants.

第63回東工大数理解析特別セミナー

2019年7月22日 (月) 16:00 -- 18:50 本館2階 213セミナー室

16:00 -- 16:50
Zhi-You Chen 氏 (National Changhua University of Education)
On the uniqueness and structure of solutions to the system arising from Maxwell-Chern-Simons O(3) sigma model

In this talk, we will talk about the uniqueness of topological multivortex solutions for the self-dual Maxwell-Chern-Simons $O(3)$ sigma model with Chern-Simons coupling parameter sufficiently large and the charge of electron either sufficiently small or large. Besides, we also establish the sharp region of flux-pairs for the non-topological solutions and provide the classification of radial solutions of all types for single vortex point case.

17:00 -- 17:50
Gyeongha Hwang 氏 (Yeungnam University)
Probabilistic well-posedness of the mass-critical NLS with radial data below $L^2(\mathbb{R}^d)$

In this talk, we consider the Cauchy problem of the mass-critical nonlinear Schrodinger equation (NLS) with radial data below $L^2(\mathbb{R}^d)$. We prove almost sure local well-posedness along with small data global existence and scattering. Furthermore, we also derive conditional almost sure global well-posedness of the defocusing NLS under the assumption of a probabilistic a priori energy bound. The main ingredient is to establish the probabilistic radial Strichartz estimates.

18:00 -- 18:50
Yong-Li Tang 氏 (Feng Chia University)
Stationary solitons of a three-wave model generated by Type II second-harmonic generation in quadratic media

In this talk, we prove the uniqueness of stationary standing wave solutions of an optical model generated by Type II Second Harmonic Generation (SHG) with behaviors tending to zero at infinity under certain conditions on parameters. In addition, we provide the same issues for the Dirichlet boundary value problems on the ball centered at the origin. A classification of solutions for radial case is also established.

第62回

2019年7月12日 (金) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Dorin Bucur 氏(Université de Savoie)
Spectral isoperimetric inequalities for the Robin Laplacian

Optimal constants in Poincaré inequalities with traces, Faber-Krahn and Saint-Venant inequalities for the Robin-Laplacian, all of them involve a control of some $L^q$-norm of a function $u \in W^{1,p}(\Omega)$ in terms of the $L^p$-norm of the gradient and some $L^s$-norm of the trace of $u$ on $\partial \Omega$. The optimal constant is not only sharp, but it is also independent on the geometry of the domain $\Omega$. Quite often, these kind of optimal inequalities can be set in terms of shape optimization problems for eigenvalues. In this talk, I will start with a survey of recent results involving spectral isoperimetric inequalities for the eigevalues of the Laplace operator. Then, I will focus on some new results involving the Robin-Laplacian and finally I will show how to prove the quantitative Faber-Krahn inequality by free discontinuity methods.

第61回

2019年6月12日 (水) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Antonio De Rosa 氏(Courant Institute, New York University)
Elliptic integrands in geometric analysis

We present our extension of Allard's celebrated rectifiability theorem to the setting of varifolds with locally bounded anisotropic first variation. We identify a necessary and sufficient condition on the integrand for its validity and we discuss the connections of this condition to Almgren's ellipticity. We apply this result to the set-theoretic anisotropic Plateau problem, obtaining solutions to three different formulations: one introduced by Reifenberg, one proposed by Harrison and Pugh and another one studied by David. Moreover, we apply the rectifiability theorem to prove an anisotropic counterpart of Allard's compactness result for integral varifolds. Some of the presented theorems are joint works with De Lellis, De Philippis, Ghiraldin and Kolasiński.

第60回

2019年5月17日 (金) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

寺本 有花 氏(東京工業大学)
Time periodic solutions of artificial compressible system

有界領域上における非圧縮Navier-Stokes方程式と人工圧縮方程式系の分岐問題について考察する.人工圧縮方程式系は数値計算においてしばしば用いられる非圧縮Navier-Stokes方程式の近似方程式である.人工圧縮方程式系に含まれるマッハ数をゼロとすると非圧縮Navier-Stokes方程式が得られるが,これは特異極限であるため,解の分岐・安定性構造が似通ったものになると簡単には結論できない.本講演では,特に人工圧縮方程式系のHopf分岐問題を考察し,ある場合にはマッハ数が十分小さければ時間周期解の分岐・安定性が人工圧縮方程式系と非圧縮Navier-Stokes方程式系とで同じになるという結果を紹介する.なお,本講演は隠居良行教授(東京工業大学)と西田孝明教授(京都大学)との共同研究に基づく.

第59回

2019年1月30日 (水) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Salvatore Stuvard 氏 (テキサス大学オースチン校)
SOAP FILMS WITH GRAVITY AND ALMOST-MINIMAL SURFACES

Minimal surfaces, i.e. surfaces whose mean curvature vanishes identically, are the classical model used to describe soap films hanging on a wire. The zero mean curvature condition can easily be derived by enforcing the balance of the pressure forces acting on the two sides of the film with the Laplace pressure induced by surface tension, under the critical assumption that gravity effects on the geometry of the resulting surface are negligible. As demonstrated by experiments, this model fails to be accurate when the characteristic length scale of the film is large. In these cases, gravitational forces play a role in determining the shape of macroscopic surfaces, and the film is in fact an almost-minimal surface, that is a surface with small (but non-zero) mean curvature. In this talk, after discussing the ``gravity-enforced'' physical model leading to the notion of almost-minimal surfaces, I will tackle the following problem: is the theory of minimal surfaces spanning a given boundary wire powerful enough to describe all possible limits of almost-minimal surfaces as the mean curvature of the latter approaches zero? I will discuss the problem both from a qualitative and quantitative point of view, providing sufficient conditions on the boundary wire under which the answer is positive. This is joint work with Francesco Maggi (University of Texas at Austin) and Antonello Scardicchio (International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy).

第58回

2018年12月26日 (水) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

Lihe Wang 氏 (University of Iowa)
Rigidity theorems by capacity of sets

We will discuss the rigidity theorems in PDEs and in geometry. A new local capacity is introduced and it will be proved that if a set has the capacity as that of a cone in enough local scales, it will be a cone with the same solid angle. Regularity will be discussed also.

第57回

2018年7月27日 (金) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

佐々木 多希子 氏 (明治大学)
1次元非線形波動方程式の爆発曲線に関する数値・数学解析

本講演では,1次元半空間上での斉次 Dirichlet境界条件付き非線形波動方程式の古典解の爆発を考える.非線形波動方程式は有限伝播性を持つことから,解の爆発時間は空間変数$x$に依存することが知られている.各$x$での波動方程式の古典解の最大存在時間$T(x)$を爆発曲線と呼ぶ.爆発曲線はその微分可能性や特異性に焦点を当てた研究がなされてきた.特に,Merle-Zaag(2012)は非線形項が$|u|^{p-1}u$である場合を考え,初期値に符号変化がある場合に,爆発曲線が特異性を持つことを示した.彼らの議論は方程式の変分構造をもとにしているため,変分構造を持たない波動方程式については言及していない.本講演では,非線形項が$|u_t|^{p-1}u_t$ (この場合,波動方程式は変分構造を持たない)であり,かつ解が奇関数である場合を考え,適切な初期条件のもとで爆発曲線が特異性を持つことを述べる.また, その数値例についても触れたい.なお,本研究は石渡哲哉氏(芝浦工業大学)との共同研究に基づく.

第56回

2018年6月22日 (金) 17:00 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

熊谷 大雅 氏 (東京工業大学)
ハミルトンベクトル場で決まる大きな移流項を持つハミルトン・ヤコビ方程式の解の漸近挙動について

ハミルトン系の確率摂動の漸近解析については、Freidlin-WentzellやIshii-Sougainidisなどによって研究がされている。これらの研究は、偏微分方程式の言葉で言えば、ハミルトン系を定めるハミルトンベクトル場で決まる大きな移流項を持つ2階線形楕円型偏微分方程式の解の漸近挙動を調べることに対応する。本講演で扱う1階完全偏微分方程式であるハミルトン・ヤコビ方程式は、Freidlin-Wentzell等の確率摂動に対して、制御項によるハミルトン系の摂動と見ることが出来る。本講演では、そのハミルトン・ヤコビ方程式の解の漸近挙動について得られた結果を紹介する。特に、ハミルトンベクトル場を定めるハミルトン関数が退化特異点を持つ場合について考察する。

第55回

2018年4月23日 (月) 16:30 -- 18:30 本館2階 213セミナー室

長谷川 翔一 氏 (東京工業大学)
松隈型方程式の正値動径対称解の族がなす層構造とその臨界指数の存在

本講演では、松隈型方程式の正値動径対称解の族がなす層構造について議論する。正値動径対称解の族が層構造をなすとは、任意の二つの正値動径対称解が互いに交わらないことを表す。松隈方程式については既に、非線形項の指数が Joseph-Lundgren 指数以上の場合に、正値動径対称解の族が層構造をなすことが知られている。本講演においては、松隈方程式の正値動径対称解の族に対して、Joseph-Lundgren 指数が層構造の成立に関する臨界指数となることを証明する。すなわち、非線形項の指数が Joseph-Lundgren 指数より小さい場合に、互いに交差する正値動径対称解の組が存在することを示す。さらに、方程式の重みをより一般化した場合においても考察を行う。

佐野 めぐみ 氏 (東京工業大学)
一般化された臨界Hardy不等式に関連する最小化問題について

有界領域上の一般化された臨界Hardy不等式の最良定数に付随する最小化問題について考察する。ポテンシャルが原点にのみ特異性をもつ古典的なHardy不等式とは異なり、臨界Hardy不等式はポテンシャルに対数関数を含んでおり、パラメータによって領域の境界にも特異性をもつことがある(この場合、本講演ではシャープな場合と呼ぶ)。臨界Hardy不等式に関しては、シャープ・非シャープともに一般領域で最小化問題の達成不可能性が証明されており、一般化された臨界Hardy不等式に関しては、非シャープな場合や領域が球の場合に研究されている。本講演ではシャープ・非シャープともに一般領域の場合で得られた結果を紹介する。特にシャープな場合は、領域の境界近くでの形状とポテンシャルの境界上での特異性の強さによって得られる結果が変わることについて述べる。最後に、領域が球の場合で最小化関数の球対称性の破れについて述べる。

第54回

2018年2月7日 (水) 17:00 - 18:30 本館2階213セミナー室

伊藤 弘道 氏 (東京理科大学)
ある非線形弾性体におけるき裂問題とその面外変形の場合について

ある非線形弾性体モデルにおける非貫通条件を課したき裂問題を考察する。非線形弾性体については、歪みに関する有界性は課すものの、応力集中を許容するようなモデルを考える。本講演では、V. A. Kovtunenko (Graz大学)とK. R. Rajagopal (Texas A&M大学)との共同研究に基づき、そのモデルの導出とその境界値問題の解の存在性について解説する。また、解の正則性について、M. Bulicek (Charles大学) et al. (2015)での面外変形の場合の結果を紹介する。

第53回

2018年2月1日 (木) 17:00 - 18:30 本館2階213セミナー室

Rolando Magnanini 氏 (University of Florence)
Alexandrov, Serrin, Weinberger, Reilly: Symmetry and stability by integral identities

The distinguished names in the title have to do with different proofs of the celebrated Soap Bubble Theorem and of radial symmetry in certain overdetermined boundary value problems. We shall give an overeview of those results and indicate some of their ramifications. We will also show how more recent proofs uncover the path to some stability results for the relevant problems.

第52回

2017年12月25日 (月) 17:00 - 18:30

関 行宏 氏 (九州大学)
球面に値を取る調和写像流方程式の解の爆発について

球面に値を取る調和写像流方程式は極座標系を介してスカラー値の半線形熱方程式に帰着される. 近年, 有限時間に現れる解の特異性やその延長について活発に研究されている. 特に Bizon--Wasserman (2015)は高次元において後方自己相似解の非存在を示し, Struwe (1988)の一般的結果と合わせて解の爆発が自己相似的とならないことを証明した。彼らの議論は背理法によるため爆発解の詳細な挙動については言及していない. 本講演では藤田方程式で得られた解析法を応用して典型的な解の爆発率が方程式の自己相似的性から決まるオーダーとどれほどずれるかを述べ, 特異点周りで詳細な各点評価について得られた最新の結果を報告する. 本研究は P. Bienart 氏(Bonn大学)との共同研究に基づく.

第51回

2017年7月21日 (金) 17:00 - 18:30

Armin Schikorra 氏 (University of Freiburg)
On free boundary problems for conformally invariant variational functionals

I will present a regularity result at the free boundary for critical points of a large class of conformally invariant variational functionals. The main argument is that the Euler-Lagrange equation can be interpreted as a coupled system, one of local nature and one of nonlocal nature, and that both systems (and their coupling) exhibit an antisymmetric structure which leads to regularity estimates.

第50回

2017年6月30日 (金) 17:00 - 18:30

柴田 将敬 氏 (東京工業大学)
凸体に関するMahler予想について

ユークリッド空間内で、原点中心に対称な凸体とその偏極体を考え、それぞれの体積を掛け合わせたものを、volume productと呼ぶ。volume productの上からのシャープな評価は、現在Blaschke-Santaloの不等式として知られているものである。そして、下からのシャープな評価は、Mahlerによって予想され、2次元の場合はMahler自身によって証明された。凸体に対称性などの制限を課した場合には、予想を肯定する結果が知られているが、予想自体は、3次元の場合であっても未解決である。本講演では、3次元の場合に得られた結果について紹介する。なお、本研究は、入江博氏(茨城大学)との共同研究に基づく。

第49回

2017年4月21日 (金) 17:00 - 18:30

Patrick van Meurs 氏 (金沢大学)
Discrete-to-continuum limits of non-locally interacting particles

The starting point is a 2D model for the dynamics of the dislocation densities in steels, which is a key ingredient for modelling plasticity. The model equations are an anisotropic version of the gradient flow of the densities of positively and negatively charged Coulomb particles. Our main result is the passage to the many-particle limit of the underlying gradient flow of individual 'Coulomb' particles (dislocations), which justifies the equations for the dislocation densities. The proof relies on the theory of Wasserstein gradient flows and advanced functional analysis on the weak form of the model equations.

第48回

2017年1月27日 (金) 17:00 - 18:30

石毛 和弘 氏 (東北大学)
Blow-up set of type I blowing up solutions for nonlinear parabolic systems with unequal elliptic operators

We give sufficient conditions for the boundedness of the blow-up set and no boundary blow-up for type I blowing up solutions to a nonlinear parabolic system with unequal elliptic operators. We introduce a new method to simplify the nonlinear parabolic system into a scalar nonlinear parabolic inequality and investigate qualitative properties of the blow-up set. This is a joint work with Yohei Fujishima (Shizuoka University).

第47回

2017年1月16日(月)17:00 - 18:30

Soohyun Bae 氏 (Hanbat National University)
Asymptotic beahvior of positive solutions of quasilinear Lane-Emden equations

The method of fowler transform is well-known in dealing with the asymptotic behavior of quasilinear Lane-Emden equations. We explain how to describe the asymptotic behavior when the coefficient in the nonlinearity is not constant but tends to a positive constant at infinity.

第46回

2016年11月25日

Yannick Sire 氏 (Johns Hopkins University)
De Giorgi conjecture and minimal surfaces for integro-differential operators

I will review the classical De Giorgi conjecture and its link with minimal surfaces. Then I will move on recent results for flatness of level sets of solutions of semi linear equations involving anomalous diffusion. First I will deal with the fractional laplacian; second with quite general integral operators in 2 dimensions.

第45回

2016年9月30日

Stephan Wojtowytsch 氏 (Durham University)
Diffuse Interfaces and Topology: A Phase-Field Model for Willmore's Energy

Motivated from a biological model, we consider the problem of minimising Willmore's energy in the class of connected surfaces with prescribed area embedded into a bounded domain. From a computational point of view, it may be favourable to approximate the curvature energy by a phase field model. Diffuse Interfaces, however, can easily separate into multiple components along a gradient flow evolution. This is overcome using a topological penalty term in the functional involving a geodesic distance function. We present here a proof of Gamma-convergence to the sharp interface limit in two and three dimensions and numerical evidence of the effectiveness of our method in two dimensions. We furthermore show that it is not possible to get a sharper control of the topology of a surface (i.e. genus) even in the sharp interface limit.

第44回

2016年7月29日

物部 治徳 氏 (東京工業大学)
外力項付きの曲線短縮方程式における進行波解の存在とその外力の条件について

曲率流方程式は材料工学の数理モデルや、 フィッツフュー・南雲方程式など様々な反応拡散方程式系の特異極限として現れる。 また、油滴運動、細胞運動など膜を持つ現象を記述する自由境界問題の中に、境界の運動方程式の一部として組み込まれることがある。 本発表では、上記の例に関係した外力項を持つ曲線短縮方程式の進行波解の存在を考察する。 特に、単純閉曲線によって構成される進行波解の存在と一意性について言及する。 なお、本研究は明治大学の二宮広和教授との共同研究である。

第43回

2016年6月20日

Theodora Bourni 氏 (Freie Universitat Berlin)
Allard's regularity theorems

In 1972, Allard proved a remarkable regularity theorem for $k$-varifolds $V$ in $\mathbf R^{n+k}$. Replacing the varifold with a smooth manifold $M$, his theorem roughly says that if the mean curvature of $M$ is in $L^p(\mathcal{H}^k)$, $p>k$, and if the area of $M\cap B_1(0)$ is sufficiently close to that of a unit $k$-dimensional ball, then $M\cap B_{1/2}(0)$ is a graph of a $C^{1,\alpha}$ function with estimates, where $\alpha=1- k/p$. Later, in 1975, Allard showed that this regularity result can be extended to $k$-varifolds with a $C^{1,1}$ ``boundary''. In this talk I will introduce Allard's regularity theorems and discuss some recent extensions; Namely, that Allard's boundary regularity theorem can be extended to $C^{1,\alpha}$ boundaries and that Allard's interior regularity theorem holds for rectifiable $n$-dimensional varifolds $V$ assuming a weaker condition on the first variation (in particular, without assuming boundedness of the first variation). Part of this work is joint with Alexander Volkmann.

Ananda Lahiri 氏 (Max Planck Institute for Gravitational Physics)
Local regularity of weak mean curvature flow

A mean curvature flow is a family of surfaces that moves in direction of the mean curvature vector. In this talk I consider weak solutions as invented by Brakke. I want to present and discuss some local regularity results which basically state the following: If the initial surface in some region is “close to a plane”, then the flow will actually be smooth and graphical over a period of time in a certain smaller region.

第42回

2016年5月13日

Maria Alessandra Ragusa 氏(University of Catania)
The structure of Morrey space

第41回

2016年1月22日

Yuan Lou 氏(Ohio State University)
Dispersal in Advective Environments

We consider some mathematical models in advective environments, where individuals are exposed to unidirectional flow, with the possibility of being lost through the boundary. We study the persistence and range for a single species. We also consider the evolution of dispersal in such advective environments. Our analysis suggests that, in contrast to the case of no advection, slow dispersal is generally selected against in advective environments, and fast or intermediate dispersal rate will be favored. This talk is mainly based upon joint works with King-Yueng Lam (Ohio State University), Frithjof Lutscher (University of Ottawa), Peng Zhou (Shanghai Jiaotong University).

第40回

2015年10月16日

Jann-Long Chern 氏(National Central University)
On the Elliptic Equations of Hardy-Sobolev Type with Multiple Boundary Singularities

In this talk, we are interested in how the geometry of boundary singularities can affect the attainability of the respective best Caffarelli-Kohn-Nirenberg and Hardy-Sobolev constant.

第39回

2015年7月27日

Marek Fila 氏 (Comenius University)
Existence of positive solutions of a semilinear elliptic equation with a dynamical boundary condition

We consider a semilinear elliptic equation in the half-space. On the boundary, a linear dynamical boundary condition is imposed. We present sharp results on existence and non-existence of positive solutions. This is a joint work with Kazuhiro Ishige and Tatsuki Kawakami.

第38回

2015年6月5日

笹本 智弘 氏 (東京工業大学)
1次元KPZ方程式

Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程式は、界面の成長を記述するモデル 方程式として1986年に提案された非線形確率偏微分方程式である. 時刻t, 位置xにおける界面高さh=h(x,t)の時間微分が、 拡散項、非線形項、ノイズ項の和と等しいというシンプルな方程式であるが、 幅広い応用を持ち、物理を始めいくつかの分野で盛んに研究されてきた。 近年1次元KPZ方程式の性質に関する理解が進展し、新たな興味を呼んでいる。 一つのきっかけは、2010年に界面の高さ分布に対する明示公式が得られたことである。 振り返ってみると、KPZ方程式はシンプルとはいえ、非線形性、ノイズ、無限自由度を持つ 方程式であり、いきなり方程式を解くという訳にはいかなかったが、四半世紀に渡って少しずつ理解が深めら れてきた結果、気がつけば上記のような具体的な結果を得る事が出来る段階まで来ていたという ことのようである。また、同じ年に高さ分布が液晶乱流を用いた実験において確認され、 揺らぎの性質を精密に調べることに関する関心を高めることとなった。 さらに、KPZ方程式に対する新たな「定義」が与えられたり (KPZ方程式は普通書かれる形そのままではwell-definedでは無い!)、 明示公式が存在する背後にはMacdonald多項式との関係があることが見いだされるなど、 いくつかの興味深い発展があった。 本講演では、方程式の導入、物理的な興味の説明から始め、近年の進展について概観する。

第37回

2015年5月8日

松澤 寛 氏 (沼津高専)
Spreading speeds and profiles of solutions in nonlinear free boundary problems

1次元空間上の非線形拡散方程式の自由境界問題を考える. 非線形項が単安定, 双安定, 燃焼型と呼ばれる3タイプのいずれかである場合, 時間無限大における詳細な漸近挙動が Du と Lou によって得られた. 具体的には主に次の2つの場合が起こる:
(1) 自由境界は $t\to\infty$ において正の無限大に発散し, 関数 $u$ はある正の定数に広義一様収束する (speading),
(2) 自由境界は $t\to\infty$ において有限の範囲にとどまり, $u$ は 0 に一様に収束する (vanishing).
本講演ではまず自由境界問題に関する先行研究と関連するCauchy問題と進行波に関する結果を紹介する。 その後, Du と Lou の研究において, spreadingが起こる場合, 自由境界の進行速度 (spreading speed) の詳しい評価が得られることと, 時間が十分経過したあとでは関数 $u$ は非線形項のみから決まる進行波のように形を変えずに一定速度で動く関数に近づくことを示す. また, 方程式に移流項 $\beta u_x$ ($\beta>0$)が含む場合に移流項がない場合の手法が適用できないために用いた放物型の 零点理論を用いた証明についても紹介する予定である. 本研究はYihong Du教授(University of New England, オーストラリア), Maolin Zhou氏(University of New England, オーストラリア), 兼子裕大氏(早稲田大学) による共同研究に基づく.

第36回

2015年4月13日

Khin Phyu Phyu Htoo 氏 (Mandalay University)
Existence and Asymptotic Behavior of Solutions to Nonlinear Parabolic System Modeling Bacterial Colony Patterns

第35回

2014年11月10日

石関 彩 氏 (埼玉大学)
分解されたメビウス・エネルギーの変分公式とその評価

与えられた結び目型の中で最も均整の取れた結び目の形状はどのようなものか。 この問題には、不均整さを測るエネルギー汎関数を定義し、その最小元を考えればよい。 そのような汎関数として、今井氏(首都大)は1991年にいくつかのエネルギーを提唱した。 後に、Freedman-He-Wangによって、その中の1つがメビウス変換によって不変であることが示され、 メビウス・エネルギーとよばれるようになった。 このエネルギーは対角部分に特異性をもつ二重積分で定義される。 その特異性のため、解析的には繊細な取り扱いが必要とされてきた。 我々は、このメビウス・エネルギーが、それぞれがメビウス不変である3つの部分に分解されることを証明した。 ここでは、分解されたメビウス・エネルギーの変分公式の導出と様々な関数空間における評価を紹介する。 それには、分解前のエネルギーの変分公式の導出・評価より容易でありかつ、 個々の分解エネルギーの扱いも統一的に行えるという利点がある。

第34回

2014年7月18日

伊藤 翼 氏 (東京工業大学)
Modulus of continuity of $p$-Dirichlet solutions in a metric measure space

距離測度空間$X$が2倍条件と$(1,p)$-Poincar{\'e}不等式を満たすと仮定し, $\Omega$を有界正則領域とする.このとき境界関数$f$が連続とすると, $f$に対する$\Omega$上の$p$?Dirichlet問題の解は$\Omega$上$p$?調和で, 境界まで連続になることが知られている.境界関数$f$が良い連続性を持つとき, $f$に対する$\Omega$上の$p$?Dirichlet問題の解も良い連続性を持つか考えていき, $\Omega$の特徴付けを行う.

第33回

2014年5月2日

清水 翔之 氏 (東京工業大学)
Spectral properties of a time-dependent Schr\"{o}dinger operator in mean-field analysis for many-boson system

平均場近似と呼ばれる枠組では, N個のボソン粒子系はNが非常に大きい時にダイナミクスが非線型シュレーディンガー方程式(NLS)で記述される事が知られている. 本講演では平均場近似の枠組みで一粒子密度作用素の時間発展を与える量子ハミルトニアンを考察する. これはポテンシャル項にNLSの解が組み込まれたシュレーディンガー作用素であり, NLSの解の性質がそのスペクトル特性に影響を及ぼす. 本講演は佐々木浩宣氏(千葉大学),鈴木章斗氏(信州大学)との共同研究 に基づく.

第32回

2014年1月31日

三浦正成 氏 (九州大学)
Uniqueness theorem on weak solutions to the parabolic-parabolic Keller-Segel system of degenerate and singular types

Keller-Segel方程式系は多くのパラメーターを有し, その取り方によって半線形型,退化型,特異型が現れる豊富な構造を内在している. 特に退化型の場合,主要項の係数に未知関数が含まれるため一様楕円性が保証されない困難さを生ずる. 同方程式系自身は,放物-放物型および放物-楕円型に分類されるが,ともに重要な研究対象であり, 適切性を論じる際,それぞれの特性に応じた解析が求められる.本講演では, 退化型及び特異型をした放物-放物型Keller-Segel方程式系に焦点を絞り, Hoelder連続な関数空間において,弱解の一意性が成立することを論じる.

2014年1月31日

佐野めぐみ 氏 (大阪市立大学)
A mean value property for polycaloric functions

caloricな関数が平均値の性質を持つことはよく知られている。 2006年、F.Da LioとL.Rodinoはcaloricな関数の平均値の性質の一般化を 少し変わった作用素を用いることで証明した。 本講演ではこの一般化を空間一次元にすることで、より簡単で素直な別証明を与える。 さらにpolycaloricという関数の概念を導入し、系としてpolycaloricな関数の平均値の定理を述べる。 またこの論文を書くきっかけとなった2011年のG.Lysikの結果である 多重調和関数の平均値の定理についても言及する。

第31回

2013年12月6日

内免大輔 氏 (大阪市立大学)
Sobolevの臨界指数を持つKirchhoff型方程式の正値解の存在について

Kirchhoff方程式は弦の自由振動を記述する波動方程式のひとつで,振動に際し 弦が伸びることによって起こる張力の変化を考慮にいれたものとして知られてい る。その最大の特徴は主要項が解自身の勾配のL^2ノルムの二乗に依存する非局 所的な係数を持ことにある。また,物理学的研究とは独立にKirchhoff型準線形 双曲型方程式の可解性についての数学的解析もBernstein(1940)を始め,古くか ら盛んに行なわれている。そんな中で近年,Alves-Corr\^{e}a-Ma(2005)によっ てその定常方程式に対する変分的な解析法が明らかにされた。本講演ではAlves- Corr\^{e}a-Maの示唆にならい,定常方程式に対する解析結果を報告する。特に, 非線形楕円型方程式の変分解析では最も興味深い問題のひとつである,非線形項 がSobolevの臨界指数を持つ問題を取り挙げ,その解の存在についてBrezis- Nirenberg型の結果を与える。

第30回

2013年11月25日

Pawel Biernat 氏 (Jagiellonian University)
Overcoming singularities in the heat flow for harmonic maps

A harmonic map between two manifolds is an extremum of a Dirichlet energy functional. In order to prove the existence of these extremal points we can employ a technique called heat flow, which relies on gradually decreasing the energy of any given map. The extremum, usually in a form of a global minimum, can be attained as a limiting point of the heat flow. Unfortunately, this process is not guaranteed to be unique due to singularities occurring during the heat flow. In my talk I will use numerical and analytical approaches to analyze the formation of singularities in the case of maps from $d$-dimensional Euclidean space to a $d$-dimensional sphere. This analysis shows that, when the dimension is $3,4,5$ or $6$, the occurrence of singularities does not greatly impact the uniqueness of the heat flow. I will also briefly discuss open problems for dimensions larger than 6.

第29回

2013年11月8日

川上竜樹 氏(大阪府立大学)
時間発展する境界条件付き半線形楕円型方程式の時間大域挙動

本講演では, 2次元以上の半空間において領域の内部では冪乗型の非線形項を持つ 半線形楕円型方程式をみたし, 境界上で時間発展する問題の正値解について考察する. 本講演では, 問題を時間発展する非斉次の境界条件を持つLaplace方程式と Dirichlet境界条件を満たす非斉次楕円型方程式に分ける事により, 本問題の時間大域可解性を分ける臨界指数を得るとともに, 小さい解に対する時間大域挙動について得られた結果を紹介する. また, 劣臨界の場合は局所解も存在しないこと, また優臨界の場合には 時間大域可解性に対する初期値の空間遠方での減衰に関する 必要条件についても紹介する. なお, 本講演はComenius大学のMarek Fila 氏と東北大学の石毛和弘氏との共同研究に基づく.

第28回

2013年10月7日

利根川吉廣 氏(北海道大学)
一般化された平均曲率流の部分正則性理論

時刻でパラメター付けされた曲面族が平均曲率流であるとは、各点各時刻で曲面 の速度が平均曲率に等しいときである.平均曲率流は曲面積をエネルギーと考え たときの勾配流のようなものであり(正確には違うが)、その停留点は極小曲面 である(速度=0=平均曲率).極小曲面が一般的には特異点集合を持つよう に、平均曲率流も時空における特異点集合を持つ.幾何学的測度論の枠組みでの 極小曲面に対してはAllardの正則性定理が重要であるが、近年その平均曲率流版 の正則性定理を証明できたので、その背景と結果について述べる.
参考論文
1. Takasao, Keisuke, Tonegawa, Yoshihiro, Existence and regularity of mean curvature flow with transport term in higher dimensions, arXiv:1307.6629
2. Tonegawa, Yoshihiro, A second derivative Hoelder estimate for weak mean curvature flow, published online in Advances in Calculus of Variations
3. Kasai, Kota, Tonegawa, Yoshihiro, A general regularity theory for weak mean curvature flow, published online in Calc. Var. Partial Differential Equations

第27回

2013年7月22日

高棹圭介 氏 (北海道大学)
フェイズフィールド法を用いた平均曲率流の弱解の存在について

平均曲率流の解の存在については, 1978年のBrakkeによる弱解(Brakkeの平均曲率流) の存在の結果が有名である. 本講演では, 移流項付き平均曲率流のBrakkeの意味で の弱解の存在について述べる. 弱解の構成は, フェイズフィールド法を採用する. フェ イズフィールド法とはAllen-Cahn方程式の解の特異極限を用いて曲面を近似する方法 であり, 1993年にIlmanenによりフェイズフィールド法を用いたBrakkeの平均曲率流 の存在証明が示された. また, 解の構成に必要な幾何学的測度論と, 重要な評価であ る単調性公式についても紹介したい. 尚, 本講演は北海道大学の利根川吉廣氏との共 同研究に基づく.

第26回

2013年7月8日

小磯深幸 氏(九州大学)
平均曲率一定曲面に対する自由境界問題と解の安定性

3次元ユークリッド空間内与えられた二平面(以下では支持曲面と呼ぶ)上に自由境界をもち, これらの平面で囲まれる領域に埋め込まれたコンパクト曲面全体を考える. 「囲む体積」を保つ変分に対する「総エネルギー=面積+自由境界での濡れエネルギー」の臨界点は, 支持平面と成す角度が一定であるような平均曲率一定曲面となる. 臨界点は,「囲む体積」を保つ変分に対する総エネルギーの第二変分が非負の時に安定であると呼ばれる. 本講演では,安定解の決定のための方法と結果,及び, 支持曲面の変動に対する解の不連続性について最近得られた結果をご報告する. なお,本講演は,Bennett Palmer氏(米国・アイダホ州立大学), Jaigyoung Choe氏(韓国・KIAS)との共同研究に基づく.

第25回

2013年6月24日

前田昌也 氏 (千葉大学)
On the asymptotic stability of fast moving soliton

3次元におけるポテンシャル付き非線形シュレディンガー方程式(NLS)を考える. ポテンシャルをとったNLSが安定な基底状態解を持つと仮定し, それをガリレイ変換で進行波解に変えたものの近くを初期値とするポテンシャル付きのNLSの解がどのようにふるまうのかを調べる. 本講演での結果はS.Cuccagna氏(Trieste大学)との共同研究に基づく.

第24回

2013年5月31日

塩路 直樹 氏 (横浜国立大学)
楕円型方程式の正値球対称解の一意性とその応用について

ある種の楕円型方程式の正値球対称解の一意性についての結果を述べる。 スカラー場方程式の遠方で減衰する正値解の一意性を示したKwongによる 結果など、これまでに様々な一意性の結果が得られている。 本講演では、Pohozaevの等式の一般化を与え、正値球対称解の一意性を示し、 その結果を、調和ポテンシャルを持つシュレディンガー方程式などに応用する。 本講演の内容は、渡辺宏太郎氏(防衛大学校)との共同研究に基づく。

第23回

2013年5月20日

Peter Polacik 氏 (University of Minnesota)
Locally uniform convergence to an equilibrium for nonlinear parabolic equations

We will present a new result on locally uniform convergence to an equilibrium for solutions with compact initial support. To put this result in context, we will first give an overview of the convergence problem for parabolic equations on bounded and unbounded domains.

第22回

2013年5月10日

矢崎 成俊 氏 (明治大学)
ある移動境界問題の構造を保存する数値解法について

本講演では,移動境界問題がある種のエネルギーの保存則や散逸則などの性質をもつ場合に, それらの性質を離散的な意味で保つ数値解法の試案を紹介したい. その方法は,いわゆる構造保存型数値解法の発想に近い.構造保存型数値解法とは, (偏)微分方程式の数値解法で, (偏)微分方程式がもつ保存・散逸則といった性質を離散化後にも離散化の意味で受け継ぐように 設計した方法である.一般に,保存則や散逸則を保つ数値解法は, 同時に(偏)微分方程式の離散化方程式の解を数値的に安定化するという良い副産物を生むことが多い. しかし,本講演で対象とする移動境界問題では, 移動境界問題特有の幾何学的形状に起因する数値的不安定性が発生するため,別の工夫が必要となる. 本講演は,その工夫についての試案の紹介である. 尚,本研究は木村正人氏(金沢大学)との共同研究に基づく.

第21回

2013年3月8日

佐藤 洋平 氏 (大阪市立大学)
The existence of a positive solution for elliptic 3-systems with attractive and repulsive interaction terms

第20回

2013年2月22日

Michael Winkler 氏 (Paderborn大学)
Barenblatt solutions - the "non plus ultra" in fast diffusion extinction?

In the Cauchy problem in ${\mathbb{R}}^n$ for the nonlinear diffusion equation \[ u_t=\Delta u^m, \qquad 0< m \ne 1, \] a family of explicit self-similar solutions, the so-called Barenblatt solutions, plays an outstanding role in the literature. We discuss the question in how far in the very fast diffusion case $m<(n-2)/n$, $n\ge 3$, these solutions indeed deserve being viewed as prototypical for general solution behavior. Our focus will be on the phenomenon of finite-time extinction and the asymptotic behavior of solutions near their extinction time. In particular, we study attractivity properties of the Barenblatt solutions and present some recent semi-quantitavite results in this direction. On the other hand, we shall in addition also identify some conditions on the initial data enforcing a completely different type of extinction behavior which is not even self-similar.

第19回

2012年12月7日

小野寺 有紹 氏 (東北大学)
求積曲面を生成する幾何学的流について

本講演では発展する閉曲面の動きを記述する幾何学的流を導入し考察する. 特に, 与えられた初期曲面に対しその幾何学流を用いて構成される閉曲面族のそれぞれは, 求積曲面と呼ばれるポテンシャル論的特徴付けをもつ曲面となることが示される. ここで, 求積曲面とは, 与えられた測度に対し, それと全く等しいニュートンポテンシャルを生成する曲面をさす. 講演では, 幾何学的流を導入する背景やその意義, そして幾何学的流が実際に一意的に解を有することを示す. また, モーメント問題と呼ばれる逆問題との関連性についても触れたい.

第18回

2012年11月2日

Philippe Souplet 氏 (パリ13大学)
Transversality of stable and Nehari manifolds for a semilinear heat equation

It is well known that for the subcritical semilinear heat equation, negative initial energy is a sufficient condition for finite time blowup of the solution. We show that this is no longer true when the energy functional is replaced with the Nehari functional, thus answering negatively a question posed by Gazzola and Weth (2005). Our proof proceeds by showing that the local stable manifold of any non-zero steady state solution intersects the Nehari manifold transversally. As a consequence, there exist solutions converging to any given steady state, with initial Nehari energy either negative or positive. (joint work with F.Dickstein, N.Mizoguchi and F.Weissler)

第17回

2012年6月25日

平田 潤 氏 (早稲田大学)
非線型シュレディンガー方程式の非自明解の存在

一般的な非線型項に対する非線型シュレディンガー方程式の定常問題を考え, 変分的な手法を用いて非自明解の存在を示す. この問題では,方程式に対応する汎関数のエネルギー評価が重要であるが, 今回の発表ではポテンシャルの無限遠での挙動に注目して精密なエネルギー評価を与えることで, 一般的な条件のもとでの非自明解の存在定理を示す.

第16回

2012年5月7日

久藤 衡介 氏(電気通信大学)
表面科学の相転移モデルに現れる反応拡散移流系の定常問題

白金表面上で起こる一酸化炭素分子の酸化触媒反応においては, 分子密度の時空間パターン(渦巻きや縞模様など)が観測される. このような表面科学のパターン形成に対するマクロスコピックなモデルとして, 1999年に,Hildebrand らは,双安定項を伴う反応拡散移流系を提唱している. 本講演では,この反応拡散移流系の定常問題を考え,次のトピックに関する結果を紹介する: ・解の有界性(アプリオリ評価) ・非定数解が存在するための係数パラメーターの十分条件 ・分子の活性化を高めた極限系の解集合が成す大域分岐枝の構造 特に,3つ目の話題では「境界遷移層と内部遷移層を繋ぐ枝」や「非定数解の枝からの2次分岐」について言及する. 本講演は,辻川亨氏(宮崎大)との共同研究に基づく.

第15回

2011年12月5日

兼子 裕大 氏(早稲田大学)
数理生態学の侵入モデルにおける自由境界問題について

一次元領域(0,h(t))に生息する個体の密度uを未知関数とする反応拡散方程式を考える. ここで,自由境界hも未知関数でステファン条件と類似の関係によって領域を拡大する. このモデルはDu,Lin両教授によって提唱され,ロジスティック項とノイマン境界条件の下で, 解の漸近挙動が(1) hが遠方まで伸びてuが正値に収束する (2) hが有限に留まってuが0に収束する, と二分されることが示された.本講演では,一般の非線形項uf(u)とディリクレ境界条件の下で 比較定理やエネルギー等式を導き,解の漸近挙動のメカニズムや楕円型方程式との関連, 反応項に依存する性質・共通する性質について解明する.

第14回

2011年10月31日

池田 幸太 氏(明治大学)
反応拡散方程式に現れる縮約方程式

第13回

2011年6月28日

Jann-Long Chern 氏(National Central University, Taiwan)
On the Minimizers of Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities with the singularity on the boundary.

第12回

2011年2月24日

Daniele Andreucci 氏(University of Rome I, Italy)
The boundary condition arising from alternating pores in cell membranes

第11回

2011年1月21日

Jong-Shenq Guo 氏(Tamkang University, Taiwan)
Dead-core rate for the fast diffusion equation with strong absorption

In this talk, we shall present some recent results of the dead-core problem for the fast diffusion equation with strong absorption. Unlike in many other related problems of singularity formation, we show that the temporal rate of formation of the dead-core is not self-similar. Moreover, we obtain precise estimates on rescaled solutions and on the single point final dead-core profile. Results of this type were up to now known only for problems with linear diffusion. The proofs rely on self-similar variables and require a delicate use of the Zelenyak method.

第10回

2011年1月14日

関 行宏 氏(Instituto de Ciencias Matematicas (ICMAT), Spain)
Multiple aggregation for the Keller-Segel Model

第9回

2011年11月5日

柴田 将敬 氏(東京工業大学)

第8回

2010年11月5日

Chang-Shou Lin 氏(National Taiwan University, Taiwan)
Nonlinear elliptic problems on half-space

We will talk about the monotonicity and symmetry of positive bounded solution( sometimes without the boundedness assumption). First we will review the method of moving planes and its variant, and show you how to take the advantage of the half space while applying the method of moving planes. Among them, we will prove the nonexistence of positive bounded solutions of laplace of u plus u^p =0 on half space of n-dimension, where p is greater than 1.

第7回

2010年10月29日

石渡 聡 氏(筑波大学)
熱核のボトルネック型評価と第1ノイマン固有値

第6回

2010年7月16日

生駒 典久 氏(早稲田大学)
非線型スカラー場方程式に対する解の多重性

第5回

2010年7月2日

大下 承民 氏(岡山大学)
小体積分率極限におけるブロックコポリマーの時間発展モデル

第4回

2010年6月25日

Chang-Shou Lin 氏(National Taiwan University, Taiwan)
空間非一様な係数による半線形熱方程式の爆発点の制御について

非線形項f(u)の前に空間非一様な係数V(x)が乗じられた形の半線形熱方程式 について,係数V(x)の零点において解が爆発するか否かを解析する. この問題に対し,J.S.Guo氏は「V(x)の零点はすべて爆発点ではない」という予想を 提唱していた.本講演では,まずこの予想が正しいための簡単な十分条件をいくつか 紹介する.一方でうまく初期値を与えれば上記の予想が成り立たずV(x)の零点でも 爆発が起こることについても説明する. なお、本講演内容は郭忠勝(台湾師範大学),林長壽 (国立台湾大学)両氏との 共同研究に基づいている。

第3回

2010年6月18日

Marek Fila 氏(Comenius University, Slovakia)
A continuum of extinction rates for the fast diffusion

第2回

2010年6月4日

千葉 逸人 氏(九州大学)
無限次元蔵本モデルの安定性理論と分岐理論

蔵本モデルは結合振動子系の同期現象を記述する最も代表的な微分方程式の 1つである.蔵本モデルの線形部分を定義している線形作用素は,非自己共役で しかも非有界な連続スペクトルを虚軸上に持つため,その解の振舞いを調べる ことは長らく問題であった.ここでは rigged Hilbert space を用いることで, そのような作用素の,ある超関数空間におけるスペクトル分解を与える. さらにこれを非線形問題に応用し,超関数空間における中心多様体の存在を示す. これらを用いて蔵本モデルの解の安定性と分岐を調べ,蔵本モデルの分岐構造に 関する蔵本の予想を証明する.特に,連続スペクトルが虚軸上にあるにもかか わらず,解が指数的に減衰し得ることや,有限次元の中心多様体の上に縮約可能 であることが示される.

第1回

2010年5月21日

石毛 和弘 氏(東北大学)
Global solutions for a semilinear heat equation in the exterior domain of a compact set

本講演は,石渡通徳氏(福島大学)との共同研究である. 本講演では,外部領域における半線形熱方程式の大域解の挙動についての分類を行い, 3次元以上の場合,非線形項に現れる指数に関するある制限の下,大域解の挙動は (1) 熱方程式の解のように振る舞う (2) 自己相似解のように振る舞う (3) 多項式オーダーでは減衰しない の3種類に分類できることを示す. (3) は考察する半線形熱方程式の正値定常解の存在を否定できないため, 大域解は時間無限大で減衰しない可能性を否定できないという事情の反映である. 外部領域では,対応する解のエネルギー汎関数の単調性が崩れることによって 既存の解析手法を用いることが困難になる場合があるが,新しいエネルギーを 導入することによって 単調性を回復し,幾つかの解の評価方法を改良することによって大域解の挙動 の分類を行う。