可換環と幾何学

Shane Kelly
2020年7月

可換環と幾何学

可換環の重要な部類が幾何学からくる。特に、代数多様体の代数的な関数.

多項式$f_1, \dots, f_c \in \mathbb{C}[x_1, \dots, x_d]$とする。$f_1, \dots, f_c$で定義される多項式とは$\mathbb{C}^d$の部分集合 $$ V(f_1, \dots, f_c) = \left \{ (a_1, \dots, a_d) \in \mathbb{C} \,\middle\vert\, \begin{array}{c} f_1(a_1, \dots, a_d) = 0 \\ \vdots \\ f_c(a_1, \dots, a_d) = 0 \end{array} \right \} $$ である。
  1. $\mathbb{C}^d$
  2. $GL_n(\mathbb{C}), O_n(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}), \dots$
  3. $\mathbb{C} \setminus \{0\}$
  4. 楕円曲線
  5. $\dots$
Elliptic curve

代数多様体から誘導された可換環は次のである.

$\mathbb{C}^n$の点と$\mathbb{C}[x_1, \dots, x_d]$のイデアルが混乱しないために、点$(a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n$を書くとき丸カッコを使って、イデアル$\langle f_1, \dots, f_n \rangle \subseteq \mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]$を書くとき山括弧を使う.

$f_1, \dots, f_c \in \mathbb{C}[x_1, \dots, x_d]$とする。多様体$V = V(f_1, \dots, f_c)$の座標環とは $$ \mathcal{O}(V) = \mathbb{C}[x_1, \dots, x_d] / (f_1, \dots, f_c) $$

$\mathcal{O}(V)$を関数$V \to \mathbb{C}$全体の集合のなす可換環の部分環として考えていることができる注目する。実際、多様体の点を環からすべて取り戻せる.

(ヒルベルトの零点定理) 多項式$f_1, \dots, f_c \in \mathbb{C}[x_1, \dots, x_d]$とし、$V = V(f_1, \dots, f_c)$をおく. \[ \biggl \{ \mathcal{O}(V) \textrm{ の極大イデアル} \biggr \} \overset{\textrm{対応}}{\Leftrightarrow} \biggl \{ V \textrm{ の点 } \biggr \} \] 実際に、 \[ \mathcal{O}(V) \supset (x_1{-}a_1, \dots, x_d{-}a_d) \leftrightarrow (a_1, \dots, a_d) \in V \]

点をすべて取り戻せるだけでなく、関する幾何学のものを多い取り戻せる。

Curves
既約でない多様体
多様体$V$が既約とは、それが$V$の2つの空でない真の閉部多様体$V_1, V_2$として書けないということである。 環のイデアル$I$が根基イデアルとは、$a^n \in I \implies a \in I$ということである。

多項式$f_1, \dots, f_c \in \mathbb{C}[x_1, \dots, x_d]$とし、$V = V(f_1, \dots, f_c)$をおく。 \begin{align*} \biggl \{ \mathcal{O}(V) \textrm{ の素イデアル} \biggr \} &\overset{\textrm{対応}}{\Leftrightarrow} \biggl \{ V \textrm{ の既約部分多様体} \biggr \} \\ & \\ \biggl \{ \mathcal{O}(V) \textrm{ の根基イデアル} \biggr \} &\overset{\textrm{対応}}{\Leftrightarrow} \biggl \{ V \textrm{ の部分多様体} \biggr \} \\ & \\ I &\rightarrow \{ a \in V\ |\ f(a) = 0\ \forall\ f \in I \} \\ & \\ \{f \in \mathcal{O}(V)\ |\ f(a) = 0\ \forall\ a \in V' \} &\leftarrow V' \\ & \\ r(I + J) &\leftrightarrow V(I) \cap V(J) \\ & \\ I \cap J &\leftrightarrow V(I) \cup V(J) \end{align*}

素イデアル

スキーム論には、可換環$R$から位相空間を作る。上記の対応をみれば、$Spec(R)$の点として極大イデアルを使う。しかし、実際に、$Spec(R)$の点は素イデアル全体の集合である。なぜ?

数論の視点から、ディオファントス方程式($x^n + y^n = z^n$)等)の整数の解を見つけるために、任意の体($\mathbb{Z} / p\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}_p, \overline{\mathbb{Q}}, \dots$等)解を考えているのが便利/面白いである。一般に環$R$の素イデアルと体へ準同型$R \to F$の同値類($\phi_1: R \to F_1$、$\phi_2: R \to F_2$が同値であるとは $\iota_1\phi_1 = \iota_2 \phi_2$をみたす体へ準同型$\iota_1: F_1 \subseteq F_3$、$\iota_2: F_2 \subseteq F_3$が存在する)。つまり素イデアルが多様体$V$の定義する方程式$f_1, \dots, f_c$の「ある」体解に対応する。

幾何学の視点から、「一般な点」の役割を演じている。代数多様体をとって、ほとんどすべての点がみたす性質が多いである。古典い、「生成点」がこの性質をみたすという。

例えば、2×2型の行列全体の集合として$\mathbb{C}^4$を考えていることができる。行列が可逆であることと行列式が可逆であることが同値である。同等に、行列 $[^{a_1}_{a_2}\ ^{a_3}_{a_4}]$が可逆であることと関数$x_1x_4{-}x_2x_3$$\in \mathbb{C}[x_1, x_2, x_3, x_4]$が行列$[^{a_1}_{a_2}\ ^{a_3}_{a_4}]$を対する極大イデアル$\langle x_1{-}a_1, x_2{-}a_2, x_3{-}a_3, x_4{-}a_4 \rangle$の剰余体$\mathbb{C} \cong \mathbb{C}[x_1, x_2, x_3, x_4] / \langle x_1{-}a_1, x_2{-}a_2, x_3{-}a_3, x_4{-}a_4 \rangle$に可逆になる。多様体$\mathbb{C}^4$の生成点は可換環$\mathbb{C}[x_1, x_2, x_3, x_4]$の極小素イデアル$\langle 0 \rangle$である。ゆえに、ほとんどすべて行列が可逆であることを$x_1x_4{-}x_2x_3$が$\langle 0 \rangle$の剰余体$\mathbb{C}(x_1, x_2, x_3, x_4)$に可逆になることに形式化される。

局所化

工事中

ベキ零元

一般なイデアル$I \subseteq \mathbb{C}[x_1, \dots, x_d]$同伴な多様体$V(I)$と根基同伴な多様体$V(r(I))$が同じいである。しかし、そういっても、$I$と$r(I)$が同じい情報を含むわけではない。

ベキ零元の含む情報の一つほ重複度である。$a \neq 0 \in \mathbb{C}$をとって、2つの点$\{0, a\} \in \mathbb{C}$がなす$\mathbb{C}$の部分多様体$V(x^2-ax)$を考えよう。この多様体のイデアルは$\langle x^2-ax \rangle \subset \mathbb{C}[x]$である。$a$はゼロに収束すれば、点$a \in \mathbb{C}$が他の点$0 \in \mathbb{C}$の上に移動する。代数的にイデアル$\langle x^2\rangle$を得る。$\langle x^2 \rangle$同伴多様体と$\langle x \rangle$同伴多様体が同じいである。しかし、商環$\mathbb{C}[x] / \langle x^2 \rangle$が$\dim_\mathbb{C} = 2$をみたすことで$0$に``2つ''の互いに重なり合った点があることがわかる。

もう一つのベキ零元の含む情報は接線方向である。2つの部分多様体 \[ V_1 = \{(0,0), (a, 0)\} \subseteq \mathbb{C}^2 \qquad \textrm{ と } \qquad V_2 = \{(0,0), (0, a)\} \subseteq \mathbb{C}^2. \] を考えよう。この部分多様体のイデアルは \[ I_1 = \langle x(x-a), y \rangle \subseteq \mathbb{C}[x, y] \qquad \textrm{ と } \qquad I_2 = \langle x, y(y-a)\rangle \subseteq \mathbb{C}[x, y] \] である。今、上のように、$a$はゼロに収束すれば、2つの場合に部分多様体$\{(0,0)\} \subseteq \mathbb{C}^2$を得るけど、2つのイデアル \[ \langle x^2, y \rangle \qquad \textrm{ と } \qquad \langle x, y^2 \rangle \] が違う。2番目の点の到着方向を覚えている。

接線方向情報を見るもう一つの方法は以下に示す。 2つの関数$f, g \in \mathbb{C}[x, y]$は$\mathbb{C}[x, y]/\langle x, y \rangle$の元として等しいであることと $(0,0)$でこれらの価値$f(0,0), g(0,0)$が等しいであることが同値である。 一方、それらは $\mathbb{C}[x, y]/\langle x^2, y \rangle$の元として等しいであることと$(0,0)$でこれらの価値$f(0,0), g(0,0)$が等しいかつそれらの $x$に関する偏微分$(\partial_x f)(0,0), (\partial_x g)(0,0)$が等しいであることが同値である。 他の$\langle x, y\rangle$ベキ零近傍、例えば$\langle x^5, x^2y, y^7\rangle$、が他の接線方向の組み合わせの情報を含む。

より一般に、$V$は滑らかな多様体で、$Z \subseteq V$が滑らかな部分多様体であれば、$\mathcal{O}(Z)$-加群$I(Z) / I(Z)^2$から誘導されたベクトル束(下を見る)と法線束を標準的な同一視される。 つまり、被約でない環 $\mathcal{O}(V) / I(Z)^2$は$Z$の情報および法線方向の情報を含む。

準素分解

Moving Point

重複度視点で準素分解がわかる。イデアル$\langle x^2-ax, xy \rangle$の同伴$\mathbb{C}^2$の部分多様体を考えよう。$a\neq 0$のとき、$y$軸$\{(0, b)\ |\ b \in \mathbb{C}\}$と$x$軸の点$(a, 0)$の合併である。$a$はゼロに収束すれば、イデアル$\langle x^2, xy \rangle$を得る。このイデアルは準素分解$\langle x^2, y \rangle \cap \langle x \rangle$をもつ。準素イデアル$\langle x^2, y\rangle$は$y$軸に加わる余分の点を表示する。$\langle x^2, y\rangle$の代わりに任意の$c \in \mathbb{C}$のイデアル$\langle x^2, xy, y-cx \rangle$を使うこともできた。それらのイデアルを余分の点が$x$軸の代わりに線$y = cx$でいくときに生じる。ゆえに、大きな幾何学的な形$V(\langle x \rangle)$が小さいな幾何学な形$V(\langle x^2, xy, y-cx \rangle)$の情報を隠すことは準素分解の非一意性の説明となる。

Diagonal Point

加群

環$R$の剰余体 全体の集合$\{ \kappa(\mathfrak{p}) := R_\mathfrak{p}/\mathfrak{p} R_\mathfrak{p}\ |\ \mathfrak{p} \subseteq R$素イデアル$\}$を 幾何学な方法で 集める構造として $Spec(R)$を考えれば、 ベクトル空間を 連続的に 集めたものとして $R$-加群$M$を考えられる。

具体的に任意の$\mathfrak{p} \in Spec(R)$から$k(\mathfrak{p})$-ベクトル空間$k(\mathfrak{p}) \otimes_R M$を得る。

もっと具体的に$R$をアフィン多様体$V \subseteq \mathbb{C}^d$の環$\mathbb{C}[x_1, \dots, x_d] / \langle f_1, \dots, f_c \rangle$として、$M$をランク$r$の射影$R$-加群とする。多様体$E$と

  1. 任意の点$v \in V$にの逆像 $\pi^{-1}(v) \subseteq E$が$\mathbb{C}^r$に同型となり、
  2. $M \cong \{ \sigma: V \to E\ |\ \pi(\sigma(v)) = v\ \forall\ v \in V \}$
をみたす写像$\pi:E \to V$を作ることができる。そんな$E \to V$はベクトル束と呼ばれ、自然に現れる。例えば、$Z \subseteq V$が滑らかな多様体の滑らかな部分多様体であれば、接束と法線束はベクトル束になる。

Vector Bundle
2次元ベクトル束

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