スタッフ紹介
水本 信一郎

東京工業大学大学院理工学研究科
数学専攻代数構造論講座 准教授
研究教育分野: 保型関数論

研究室: 本館334A(3階)
電話: (03)5734−2544(直通)
Fax: (03)5734−2738(共有)


研究テーマ

ジーゲル保型形式,保型 L 関数,アイゼンシュタイン級数

ジーゲルモジュラー群に関して不変性を持つ 多変数関数,およびそこから定まる L 関数の研究.


研究の概要

ジーゲル保型形式に付随した保型 L 関数の, 解析的・数論的性質を解明することを 主な目標としてきた.

整数論で基本的なリーマン・ゼータ関数 の拡張ともいえる保型 L 関数の性質は (数々の予想はあるが実際には)まだ わかっていないことが多い. 私は主に正則ジーゲル保型形式とその周辺 からこの問題を調べている.


研究の特色

このところずっと,アイゼンシュタイン級数を種々の部分多様体に制限した ものと保型 L 関数の関係を調べている.
下記の論文 [1] では,3個の楕円保型形式に 付随した3重積 L 関数の特殊値を,概正則 保型形式の理論を用いて計算する方法を発見した.
論文 [2] では, Kohnen-Skoruppa-Yamazaki 型の n 次の 非正則アイゼンシュタイン級数と 2n 個の 正則楕円保型形式からある種の級数が得られることを示した. それは一般にはディリクレ級数にならない.
論文 [3] [4] では,ジーゲル保型形式のフーリエ係数の間の合同式 (たとえば有名なラマヌジャンの合同式)が持ち上げで保たれるか という小池の問題を取り上げ,いくつかの場合に 肯定的解決を与えた.
桂田氏との共著 [5] では次数 n のジーゲル保型形式の空間で, クリンゲン型のアイゼンシュタイン級数と尖点形式の ヘッケ作用素の固有値の間に保型L関数の特殊値を 法とした合同式が存在するという,黒川の予想 (1979) を 解決した.ここでも次数 2n のジーゲル-アイゼンシュタイン 級数の pullback が証明の鍵となっている.
論文 [6] では,次数 r のヤコビ尖点形式に付随した次数 n (>r) のアイゼンシュタイン級数のジーゲル上半空間への制限と 次数 n のジーゲル保型形式の内積から,それぞれの標準L関数の 商の積分表示が得られることを示した.これは r=1, n=2 のときに Heim (2000) によって得られた結果の 一般次数への拡張になっている.
論文 [7] では,次数が m, n, および m+n-1 の3個のジーゲル保型形式から フーリエ・ヤコビ係数を含むある種のディリクレ級数が得られ, 全平面への解析接続と関数等式を持つことを示した.これは 3個の1変数保型形式に付随した3重積L関数 (Garrett, Satoh) や GSp(2)×GL(2) の保型L関数 (Furusawa, Heim) を与えるディリクレ級数 に関する結果の拡張になっている.証明には 次数 2m+2n-1 のジーゲル・アイゼンシュタイン級数の pullback を用いる.



学術論文

  1. S. Mizumoto, Special values of triple product L-functions and nearly holomorphic Eisenstein series. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 70 (2000), 191--210.
  2. S. Mizumoto, Certain series attached to an even number of elliptic modular forms. J. Number Theory, 105 (2004), 134--149.
  3. S. Mizumoto, Congruences for Fourier coefficients of lifted Siegel modular forms I: Eisenstein lifts. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 75 (2005), 97--120.
  4. S. Mizumoto, Congruences for Fourier coefficients of lifted Siegel modular forms II: The Ikeda lifts. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 77 (2007), 137--153.
  5. H. Katsurada & S. Mizumoto, Congruences for Hecke eigenvalues of Siegel Modular Forms. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 82 (2012), 129--152.
  6. S. Mizumoto, Pullbacks of Klingen-Eisenstein series attached to Jacobi cusp forms. J. Ramanujan Math. Soc., 29 (2014), 379--402.
  7. S. Mizumoto, A Dirichlet series attached to three Siegel modular forms. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 87 (2017), 113--134.

更新日: 2017年3月23日