GIF Animations / GIFアニメーション

1: Euler's formula / オイラーの公式
2: Differentials and linear approximation / 微分と1次近似
3: Integration / 積分
3': Surface area / 曲面積
4: Fourier series / フーリエ級数
5: $L^p$ convergence / $L^p$ 収束

1. Euler's formula / オイラーの公式

LEFT: The complex exponential function $e^z=\exp z$ is defined by the series $\displaystyle e^z = 1 + \frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\cdots $ for each $z \in \mathbb{C}$. When we let $z = it$ with $t \in \mathbb{R}$, the celebrated Euler's formula $e^{it}=\cos t + i \sin t$ follows. Indeed, the sequence $\{z_n\}$ defined by the recursive formula $\displaystyle z_0=0; z_{n+1}=z_{n} + \frac{(it)^n}{n!} $ converges to $\cos t + i \sin t$, a point on the unit circle. This GIF animation depicts the convergence of the sequence $\{z_n\}$ (blue heavy dots joined by blue segments) with angular parameter $t$ increasing from 0 to $4 \pi$.
RIGHT: The same idea applied for $z=\log 2 + i t~(0 \le t \le 4 \pi)$.
: 複素数 $z \in \mathbb{C}$ に対し, 複素指数関数 $e^z=\exp z$ は 級数 $\displaystyle e^z := 1 + \frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\cdots $ によって定義される.とくに,$z = it$($t \in \mathbb{R}$)を代入したとき, 有名な オイラーの公式 $e^{it}=\cos t + i \sin t$ が得られる. 実際,数列 $\{z_n\}$ を漸化式 $\displaystyle z_0=0; z_{n+1}=z_{n} + \frac{(it)^n}{n!} $ によって定義するとき,これは単位円周上の点 $\cos t + i \sin t$ に収束する. この GIF アニメーションは, 角度のパラメーター $t$ を 0 から $4 \pi$ まで動かしたとき, 数列 $\{z_n\}$ (青い線で結ばれる青い点たち) が収束する様子を表現したものである.
:同様に $z=\log 2 + i t~(0 \le t \le 4 \pi)$ としたもの.

2. Differentiation and linear approximation / 微分と1次近似

LEFT: We say a function $y=f(x)$ is differentiable at $x=a$ if there exists a constant $A \in \mathbb{R}$ such that $\displaystyle f(x)= f(a)+A (x-a) + o(x-a)~~(x \to a). $ This means that $f(x)$ is approximated by the tangent line $y = f(a) + A (x-a)$ and its relative precision gets better as $x \to a$. In other words, if we magnify the graph of $y=f(x)$ at $(a, f(a))$, it becomes harder to distinguish it from the tangent line. In this GIF animation $f(x)=\sin 3x + \sin^2 5x$, $a=0$, and $A=3$.
RIGHT: We say a function $z=f(x, y)$ in two variable is differentiable at $(x,y)=(a,b)$ if there exists a vector $(A, B) \in \mathbb{R}^2$ such that $\displaystyle ~~~~~~~~f(x,y)= f(a,b)+A (x-a) + B(y-b)+o(\{(x-a)^2+(y-b)^2\}^{1/2}) $
as $(x,y) \to (a,b).$ Instead of considering the tangent plane, we use contour graphs to understand what it means. The contours (level curves) of $z=f(a,b)+A (x-a) + B(y-b)$ are straight lines perpendicular to the gradient vector $(A,B)$. Hence the differentiability means the contours of $z=f(x,y)$ are approximated by those of $z=f(a,b)+A (x-a) + B(y-b)$. In this GIF animation $f(x,y)=\sin(x + y)\cos( y - x^2/3 + 2)$, $(a,b)=(0,0)$, and $(A,B)= (\cos 2,\cos 2)$.
: 関数 $y=f(x)$ が $x=a$ で 微分可能 であるとは, ある定数$A \in \mathbb{R}$ が存在し, $\displaystyle f(x)= f(a)+A (x-a) + o(x-a)~~(x \to a). $ が成り立つことをいう.すなわち, $f(x)$ は接線 $y = f(a) + A (x-a)$ によって近似され,その相対的な精度は $x \to a$ のときより高くなる. 言い換えると,$y=f(x)$ のグラフを点 $(a, f(a))$ を中心に 拡大すればするほど,接線との区別が難しくなるということである. この GIF アニメーションでは, $f(x)=\sin 3x + \sin^2 5x$, $a=0$, $A=3$ としている.
: 2変数関数 $z=f(x, y)$ が $(x,y)=(a,b)$ において 微分可能 であるとは,あるベクトル $(A, B) \in \mathbb{R}^2$ が存在し,$(x,y) \to (a,b)$ のとき $\displaystyle ~~~~~~~~f(x,y)= f(a,b)+A (x-a) + B(y-b)+o(\{(x-a)^2+(y-b)^2\}^{1/2}) $
となることをいう. その意味するところを理解するには,接平面を考えるよりも, 等高線グラフを考えるほうがよい. 関数 $z=f(a,b)+A (x-a) + B(y-b)$ の等高線はその勾配ベクトル $(A,B)$ と垂直な直線たちになる. よって,$z=f(x,y)$ の微分可能性とは, その等高線が $z=f(a,b)+A (x-a) + B(y-b)$ の等高線によって近似される, ということである. この GIF アニメーションでは, $f(x,y)=\sin(x + y)\cos( y - x^2/3 + 2)$, $(a,b)=(0,0)$, and $(A,B)= (\cos 2,\cos 2)$ としている.

3. Integrations / 積分

LEFT: In the 19th century Riemann introduced a classical definition of the integration which is still fundamental in college mathematics and numerical analysis. The idea is to approximate the region between the graph of a function and the axis by thin rectangles. In this animation the approximation starts with 5 rectangles (with randomly chosen thickness) and it gets finer as the number of rectangles increases up to 100.
MIDDLE and RIGHT: The same idea is applied for multivariable functions. For functions with two variables we use thin cuboids (like square columns) for approximation.
: 19世紀にリーマンが与えた積分の古典的な定義は, 現在も大学教養課程における数学や,数値解析学における基礎となっている. そのアイディアは,関数のグラフと軸で囲まれる部分を細長い長方形によって近似する, というものである.このアニメーションでは,5つの長方形(太さはランダムに選んでいる) による近似からスタートし,長方形の数が100まで増加する過程で近似が改善される様子を表している.
中央と右: 多変数の関数に対しても同様のアイディアが適用できる. 2変数の場合は,近似に細い直方体(角柱)を用いるのである.

3'. Surface area / 曲面積

Defining the ``area" of a given surface is quite non-trivial. If the surface is smooth, then we have a natural definition by integration. For example, let $S$ be a surface parametrized by a vector-valued smooth (or $C^1$) function $\vec{p}=\vec{p}(s,t) \in \mathbb{R}^n$ where $(s,t)$ ranges over a domain $D$ of $\mathbb{R}^2$. Then its area is defined by $\displaystyle \iint_D \left ||\vec{p}_s\times\vec{p}_t \right || \, ds \, dt$. The integration is a limit of the total areas of tiny tangent planes (panels).
曲面に対し「面積」を定義するのはそれほど簡単ではない. しかし,曲面が滑らかであれば,積分を用いた自然な定義が知られている. たとえば,曲面 $S$ が滑らかな(あるいは $C^1$級の)ベクトル値関数 $\vec{p}=\vec{p}(s,t) \in \mathbb{R}^n$ (ただし $(s,t)$ は $\mathbb{R}^2$ 内の領域 $D$ 内を動くものとする) でパラメーター表示されるとき,その面積は $\displaystyle \iint_D \left ||\vec{p}_s\times\vec{p}_t \right || \, ds \, dt$. によって定義される.この積分は,微小な接平面たちの,総面積の極限になっている.

4. Fourier Series / フーリエ級数

Let $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be a square wave function, that is, a periodic function of period $2 \pi$ such that
$f(x)=-1~(-\pi < x \le 0)$ and $f(x)=1~(0< x \le \pi)$. By Dirichlet's theorem, a classic result on Fourier series, it follows that that the equation \[ f(x)=\frac{4}{\pi}\Big( \sin x + \frac{\sin 3x}{3}+ \frac{\sin 5x}{5}+\cdots\Big) =\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \frac{-2i}{(2n-1)\pi}\big\{e^{(2n-1) xi} - e^{-(2n-1) xi}\big\} \] holds unless $f$ is discontinuous at $x$. The middle one is the Fourier expansion and the right-most one is its complex form. This animation shows the motion of the finite sum \[ S_N(x):=\frac{-2i}{\pi} \Big\{e^{xi} -e^{-xi} + \frac{e^{3xi}}{3} - \frac{e^{-3xi}}{3} +\cdots +\frac{e^{(2N-1)xi}}{2N-1} - \frac{e^{-(2N-1)xi}}{2N-1} \Big\} \] for sufficiently large $N$. Since $e^{\pm (2N-1)xi}$ rotates along the unit circle $\pm(2N-1)$ times for each period $2 \pi$, $S_N(x)$ is a composition of rotations with distinct weights. The animations below shows the case for $N=1,3$ and $5$.
周期 $2\pi$ をもつ矩形波関数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x)=-1~(-\pi < x \le 0)$,$f(x)=1~(0< x \le \pi)$ が成り立つように定義する(すなわち,$(-\pi,\pi]$ 以外では 周期性 $f(x+2 \pi)=f(x)$ を用いて拡張する). フーリエ級数に関する古典ともいえる ディリクレの定理によれば,不連続点を除いて等式 \[ f(x)=\frac{4}{\pi}\Big( \sin x + \frac{\sin 3x}{3}+ \frac{\sin 5x}{5}+\cdots\Big) =\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \frac{-2i}{(2n-1)\pi}\big\{e^{(2n-1) xi} - e^{-(2n-1) xi}\big\} \] が成立する.中央の級数がいわゆる フーリエ展開 であり,最後の級数はその複素形を与える. このアニメーションは,$x$ を時間のパラメーターとして, 有限和 \[ S_N(x):=\frac{-2i}{\pi} \Big\{e^{xi} -e^{-xi} + \frac{e^{3xi}}{3} - \frac{e^{-3xi}}{3} +\cdots +\frac{e^{(2N-1)xi}}{2N-1} - \frac{e^{-(2N-1)xi}}{2N-1} \Big\} \] の動きを十分に大きな $N$ に対して描画したものである. $e^{\pm (2N-1)xi}$ は時間 $2\pi$ で単位円上を $\pm(2N-1)$周する動きを表すから, これは速度の異なる円運動を重みつきで合成したものとなる. 下の図は $N=1, 3, 5$ について $S_N(x)$ の動きを表現したものである.

5. $L^p$ convergence / $L^p$ 収束

It is hard to imagine the topology of the $L^p$ space $L^p([0,1])$ for $p \ge 1$, that is, the vector space of functions $f(x)$ on $[0,1]$ whose Lebesgue norm $\displaystyle ||f(x)||=\Big (\int_0^1 |f(x)|^p \, dx \Big)^{1/p}$ is finite. The animation depicts a sequence of functions $\{f_n\}$ such that it converges to $f \equiv 0$ (the zero vector) in $L^p$ but the sequence of numbers $\{f_n(x)\}$ diverges for every $x \in [0,1]$.
$L^p$ 空間 $L^p([0,1])$($p \ge 1$)とは, $[0,1]$区間上の関数 $f(x)$ で,ルベーグのノルム $\displaystyle ||f(x)||=\Big (\int_0^1 |f(x)|^p \, dx \Big)^{1/p}$ が有限となるもの全体からなるベクトル空間だが, その位相を思い描くのはなかなか難しい. このアニメーションでは,関数列 $\{f_n\}$ で,$L^p$ において $f \equiv 0$ (0ベクトル)に収束するが, 任意の点 $x \in [0,1]$ で数列 $\{f_n(x)\}$ が発散するようなものを表現している.


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