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応用解析序論第一・第二
(2019年度第3Q,第4Q・水曜日3〜4限 / 川平)

フーリエ解析を学びます.
(講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ 19W-fourier.pdf

第14回(2020/1/22) フーリエ変換の応用
● フーリエ変換が急減少関数の空間にユニタリーに作用するという結果だけ紹介したあと, フーリエ変換の熱方程式への応用について解説しました.

第13回(2020/1/15) フーリエの反転公式
● フーリエ変換の具体例をいくつかやったあと,区分的連続かつ絶対可積分な数直線上の関数に対し「フーリエ積分」(フーリエ変換のあと逆変換をしたもの)を定義し,それがもとの関数の一致するための十分条件について議論しました.フーリエ級数の収束性に関するディリクレの定理のフーリエ積分版なども証明無しで紹介しました. 証明は省いた部分が多かったですが,プリントではできるだけフォローしたいと思います.

第12回(2020/1/8) フーリエ変換
● 数直線上の関数に対し広義リーマン可積分性と絶対収束性を定義し, フーリエ変換の定義を与えました.また,その直観的な意味を フーリエ係数の極限として説明しました. また,フーリエ逆変換を定義し,反転公式を「予想」しました.

第11回(2019/12/25) フーリエ級数再訪
● exp(n x i) を正規化した列がL^2で完全正規直交系になる,という事実からフーリエ展開を再度見直す,という内容でした.証明無しで認めた部分も多いので数学的には物足りない部分もありますが,ひとまずフーリエに戻ってきた,ということで良しとしましょう.

第10回(2019/12/18) 正規直交系
● ヒルベルト空間の例として,L2空間を導入しました.といっても,ルベーグ積分は「認めて」というスタンスです.「ほとんどいたるところで同じ関数」にあたる概念も定義しました.また,正規直交系の例としてフーリエ級数でも出てきた exp(n x i) を正規化した列を確認しました.

第9回(2019/12/11) ヒルベルト空間
● 前回の復習につづいて,内積空間における収束列, 内積の連続性,完備性の話をして,最後にヒルベルト空間の定義をしました.

第8回(2019/12/4) 内積空間
● 一般の複素ベクトル空間上に内積を定義し,シュワルツの不等式を証明しました.

第7回(2019/11/13) 収束定理 (2)
● 区分的に滑らかな関数を定義に対し,収束定理の証明をしました. 残りの時間で,具体例の計算と,応用としてLeibniz級数が得られることを紹介しました.

第6回(2019/11/6) 収束定理 (1)
● 前回見せなかった動画とMathematicaでのデモをやりました.
● 区分的に滑らかな関数を定義し,それに対する収束定理の主張および証明に必要な補題を準備しました.次回はその準備のつづきからです.

第5回(2019/10/30) ベッセルの不等式とリーマン・ルベーグの補題
● 複素フーリエ級数の幾何学的な意味を解説しました.
● 実フーリエ多項式を定義し,与えられた関数の実フーリエ多項式による 最良2乗近似としてフーリエ係数が自然に出てくることを示しました. また,その副産物としてベッセルの不等式とリーマン・ルベーグの補題を導きました.
● 今日はビデオやMathematicaによるデモをお見せするつもりでしたが, あろうことか,パソコンからプロジェクターへのコネクター(USB-C~VGA)を自宅に 忘れてきてしまいました.次回やります.

第4回(2019/10/23) 複素フーリエ級数
● 前回導入したフーリエ係数・フーリエ級数の復習とその具体的な計算方法を学びました.
● オイラーの公式を用いて,これらを複素形で表現する方法を紹介しました.

第3回(2019/10/16) 複素数値関数と関数列の一様収束
● 指数関数の指数関数と周期性について補足したあと,複素数値関数の微分・定積分 を定義,その具体例をやりました.
● 関数項級数の一様収束とその十分条件(ワイエルシュトラスのMテスト) について解説し,区分的に連続な関数のフーリエ級数の定義までやりました.

第2回(2019/10/9) 複素数値関数と関数項級数
● 複素級数と指数関数,関数の各点収束・一様収束について説明しました.

第1回(2019/10/2) フーリエの着想と三角級数展開
● フーリエによる熱方程式の解法について概説し, そこから「任意関数の三角級数展開」の問題が発生することを説明しました.

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