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実解析第一・第二(2019年度第1Q,第2Q・火曜日3〜6限 / 川平)

ルベーグ積分を学びます.
(講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ 19S-real.pdf

第14回(2019/7/31) ラドン・ニコディムの定理
● 加法的集合函数の定義のあと,証明抜きでハーン分解,ジョルダン分解, 絶対連続性,ラドン・ニコディムの定理などを解説しました.
● フビニの定理に関する演習のつづきと加法的集合関数について演習しました.

第13回(2019/7/23) フビニの定理 (2)
● フビニの定理の主張を復習したあと,トネリの定理の主張を解説. 残りの時間でフビニの定理の証明をスケッチしました.
● フビニの定理に関する演習をやりました.

第12回(2019/7/16) フビニの定理 (1)
● ほぼ,前回紹介した命題11.4の証明だけでおわりました. 残りの時間でフビニの定理の主張を述べました.
● フビニの定理に関する演習をやりました.

第11回(2019/7/9) 直積測度 (2)
● 直積外測度を用いてカラテオドリ方式で可測集合,直積測度を定義しました. さらに,直積される各々の測度空間に完備性を仮定したとき, 積分で直積測度が表現できることを説明しました.次回はその証明から入ります.
● 前々回やり残した収束定理に関する演習と, 直積測度に関する演習をやりました.

第10回(2019/7/2) 直積測度 (1)
● フビニの定理に向けて,σ加法族上の測度および測度空間の抽象的な定義と, それを用いた直積空間上の直積外測度の構成までをやりました.
● 前回やり残した項別積分に関する演習とσ加法族の構成に関する演習をやりました.

第9回(2019/6/25) 項別積分とリーマン積分
● 単調収束定理と優収束定理の関数項級数版にあたる定理を紹介・証明しました. さらに,リーマン可積分な関数はリーマン可積分であり,積分の値も一致することを述べました(証明はプリントで.)
● 主に収束定理の応用に関する演習をやりました.

第8回(2019/6/18) 収束定理
● 単調収束定理,ファトゥの補題,優収束定理の証明を 立て続けにやりました.
● 収束定理の応用に関する演習をやりました.

第7回(2019/5/28) ルベーグ積分 (2)
● ルベーグ積分の定義を復習し,積分の「線形性」にあたる性質を証明しました.
● 「線形性」も含めて,ルベーグ積分の諸性質について演習しました.

第6回(2019/5/21) ルベーグ積分 (1)
● 単関数とその積分の定義をやりました.また,それが「ルベーグ和」に相当するものであることを確認しました.その上で,一般の可測関数に対するルベーグ積分を定義しました.
● 主に単関数の諸性質について演習しました.

第5回(2019/5/14) 可測関数 (2)
● 可測関数の和や積が可測関数となることや,可測関数の上極限・下極限などがまた可測関数となることを確認しました.また,「ほとんどいたるところ等しい」関数を定義しました.
● 前回やり残したσ加法族に関する演習問題の発表と,今日は関数の可測性について演習しました.

第4回(2019/5/7) 可測関数 (1)
● 開集合が可測集合であることの証明などをした後,可測関数の定義と例を述べました.
● 前回やり残した発表分とσ(可算)加法族,可測関数と同値な定義について演習しました.

第3回(2019/4/23) 可測集合と可算加法族
● 可測集合が可算加法性をもつことを証明しました.可算加法「族」のほうは次回補足します.
● 演習では可測集合の諸性質についての問題の解答と発表をしてもらいました.

第2回(2019/4/16) ルベーグ外測度と可測集合
● ルベーグ外測度を定義し,その基本性質と可測集合の定義をしました.
● 演習では,チーム分けとルベーグ外測度,可測性の平行移動不変性をやりました.

第1回(2019/4/9) リーマン積分 vs. ルベーグ積分
● リーマン積分の定義の復習と,ディリクレ関数や関数項級数の積分など, リーマン積分と極限操作の相性があまり良くない例について解説しました. また,ルベーグ積分のアイディアについて簡単に説明しました.
● 演習では,おもに一様収束や各点収束と積分の関係についての問題をやりました.

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