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微分積分学 I(2014年度前期・月1 / 川平)

1変数微分積分学の基礎を学びます.
(講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ 14S-biseki.pdf

第13回(2014/07/28) 期末試験
● C33教室で行います(いつもと違うので注意!). 学生証を持参してください.座席指定あり.
● 無事終了しました. 平均点は63.4点(100点満点), 問題1〜4がそれぞれ15.0/20, 22.4/30,15.4/25,11.5/25 でした.

第12回(2014/07/14) 広義積分
● レポート問題のヒントと解答(web上には置きません)を配りました.
● 広義積分を定義し,具体例の計算.
● 優関数による収束の判定法を証明なしで紹介. ガンマ関数を定義し,収束性を証明しました.

第11回(2014/07/07) 定積分の応用
● 有理式に対しては原始関数が見つかることを具体例を挙げながら解説. tan x/2 を用いた三角関数の有理式の原始関数について解説.
● 曲線の長さの公式を解説,放物線の長さを計算. 円周の長さを積分で表現し,「円周率の定義」をやりました.
● 講義アンケートを実施しました.ご協力ありがとうございました.

第10回(2014/06/30) 定積分
● 定積分の定義をしたあと,「微積分の基本定理」によって積分と微分が関係付けられることを確認.
● 不定積分を定義し,基本的な積分計算方法をチェック.置換積分と部分積分の例を確認しました.微妙に計算ミスがあったので来週訂正します.

第9回(2014/06/23) テイラー展開の応用
● テイラー展開を復習したあと,e の近似計算(6次の展開で相対誤差は0.035%!),極限 x^k/e^x -> 0 の計算をやりました.
● 対数と二項展開のテイラー展開を結果のみ紹介し, 26の平方根を3次式までで近似計算.
● ランダウの記号の計算方法を紹介し,漸近展開, 極限計算をやりました.
● パソコンでMathematicaのデモンストレーションをするつもりでしたが, インストールしていたMathematica のライセンスが年度末で切れていてできませんでした..

第8回(2014/06/16) テイラー展開
● 高階微分を定義し,テイラー展開とその具体例をやりました. 近似計算の具体例を挙げてアイディアを伝えることに重点をおきました. 証明はごく簡単にスケッチのみ.くわしくはプリントで.

第7回(2014/06/09) 平均値の定理
● ロルの定理と平均値の定理の主張と証明をスケッチ. 微分が正のところは単調増加,といった「知識」に証明を与えました.
● ロピタルの定理を直感的に説明したあと,応用例を2つ紹介. 間違いやすい例を紹介して,注意を促しました.

第6回(2014/06/02) 微分と1次近似
● 微分の定義と意義を確認したあと, 1次近似式(接線の方程式)を用いて sin 47°や26の平方根を近似計算しました.
● 種々の微分の公式と対数微分法について解説しました.

第5回(2014/05/26) 中間値の定理と微分
● 方程式の数値解法として「二分法」をやりました. 応用として,中間値の定理を証明しました.
● 真に単調増加な連続関数の逆関数がやはり真に単調増加かつ連続であることを解説しました.
● 最後に関数の微分可能性を定義し,その意味を説明しました. また,微分可能性を一次式(接線の方程式)+誤差の形で表現しました. ランダウの記号を導入しました.

第4回(2014/05/19) 逆関数と指数・三角・対数関数
● 関数が1対1であることを定義.さらに逆関数の定義. 応用として平方根・べき根関数を定義しました.
● さらに正の数の有理数べきを定義. 実数の連続性から無理数べきを定義. これが指数関数の定義につながります. さらに逆関数として対数関数の定義.
● 三角関数の定義を確認. さらに逆三角関数を定義しました.
● このように,いわゆる初等関数が「逆関数」というものを通して次々と得られます. 新しい関数をつくる仕組みとして「逆関数」に着目しよう, という(ある意味由緒正しい)考え方です.

第3回(2014/05/12) 関数の極限と連続性
● 区間,定義域,値域などの用語を定義. そのあと関数の極限 lim の記号などの定義を確認.
● 関数の連続性の定義と,連続関数の四則・合成で新たに連続関数が作られることを確認しました.定義ばかりでつまらない回でしたが, 何をやるにも「下準備」や「段取り」が大事なものです.
● 講義アンケートを実施しました.

第2回(2014/04/28) 実数の連続性と e
● 「実数の連続性の公理」を説明.0.99999... = 1 の説明(この等号には違和感を感じる,という人が3割から4割いました.). 漸化式で定まる数列の収束性を示す例題をやりました.
● 自然対数の底 e の定義をしました.
● n^{1/n} -> 1 などの典型的な極限をいくつか紹介しました.

第1回(2014/04/21) 数列の収束と実数の連続性
● 今日は講義の概要を説明して20分,講義の目標について語ること20分, そして数列の収束・単調性・有界性の定義をしたところであっけなく終了. 来週がんばります.

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