2004年「一般化リーマン積分の可能性の探究と、それを用いた経路積分の新しい意味付けの研究」（萌芽）申請、不採択！
実験ー日本人にも組織の自己改革は可能か？
研究テーマ
偏微分方程式、方程式系の解の構造、スーパー空間上の解析学とその応用、汎関数微分方程式の解法
研究の概要
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(a) 常微分、偏微分方程式は、与えられた有限次元空間の領域上の関数達のなす関数空間上の解析学である。
しかし場の理論、乱流理論を
数学的に扱う為には関数空間内の領域上での解析学を展開する必要がある。
これが汎関数微分方程式の解法を考えなければならない理由だが、対応するルベ−グ的測度が無いので多くの困難がある。１階線形偏微分方程式の解は特性曲線の方法で非線形常微分方程式の解を用いて与えられる。このやり方の一つの拡張がNavier-Stokes方程式に対応するHopf方程式であるが、これを用いてEuler方程式に手で揺らぎを入れその解を平均化することによってNavier-Stokes方程式を導出した。また、Hopf方程式の定常解とNavier-Stokes方程式に対応するフローの不変測度との関連を調べたいのだが、なかなかFoiasを越えられない。無限次元空間には対応するルベ−グ的測度が無いにもかかわらず、物理学者は何やら積分値を、有限次元の場合から類推して、色々の近似方法を用いて計算してくる。これは何故可能なのか？「ルベ−グ的測度」にこだわって積分を定義しようとする所に問題があるのかもしれない。
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(b)ここ数年は行列に由来する非可換性をもった現象、例えば行列係数の偏微分方程式、
物性論においてグラスマン変数を用いるエフェトフの方法、に対する数学的基盤を
構築している。この方面は極めて肥沃な研究分野だが、どうすれば群がる物理学者を超える美しい結果が
自然に得られるか？を楽しみ、苦しんでいる。
研究の特色
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(a) 高階の汎関数微分の意味付けは一般にはできないが、
時空間でのHopf方程式をいじるとカレントとして意味がつけられる場合があることを示した。
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(b) 行列はクリフォード代数の関係式を満たす特殊な行列 ($2\times 2$ならばパウリ行列、
$4\times 4$ならばディラック行列) を用いて分解される。また、クリフォード代数の元はグラスマン代数上に表現される。そこで実数体の代わりに可算無限個のグラスマン代数の元を生成元としてもつスーパー数を定め、ユークリッド空間の代わりにスーパー空間を作ると、その空間には可算個のセミノルムが入り完備な距離空間をなす。スーパー空間上での自然な関数としてスーパー関数を考え、解析学（微分積分学、線形代数学、実解析学）を準備することができ、上で述べた特殊な行列がスーパー関数に働く微分作用素と表されるのみならず、それの表象が非可換な``スカラー"として表現される。ここで、グラスマン生成元の個数は可算無限個だがグラスマン変数（奇変数）は有限個という区別は本質的である。
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これを用いると、行列係数微分作用素に対するハミルトン関数が定義され、同時に対応する古典力学が考えられる。これによって、ファインマンの提出した問題、「スピンをもった（ディラック、パウリ、ワイル等の名を冠されている）量子力学の方程式に対し、位相停留点の方法を形式的に用いればボーアの対応原理が見えるように解の表示をできるか」に答を出すことが、電磁場付きのワイル方程式に対しては出来た。ディラック方程式に対しても同様の考察が出来、自由電子の場合にはZitterbewegungに対する古典的描像がスーパー空間上で具体化できることはすでに発表した。
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このスーパー解析学を用いて、ランダム行列の１点関数を
鞍点の方法で見えるように表示する
という物理学者の仕事を数学的に証明し直した。
今後の研究
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(a) 汎関数微分方程式の一般的な取扱いを、既存の関数解析的方法で求めることは「適当な測度」が見つかっていない状況では難しい。一方、Feynman積分はあくまでも積分であって測度自身を問題にしているわけではない。そこで、Feynman積分をLebesgue的ではない、一般化Riemann積分の立場で検討しようと目論んでいるが遅々として進まない。これは少々怠慢であって恥ずべきことと感じている。
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(b) スーパー解析に対する日本数学界における社会的認知度はまだ高くない。この状態を変える為には、
もっとインパクトがある問題を解いてみせる必要があろう。例えば、方程式系の主表象、副表象とは何か？双曲系の波動の特異性の伝播はどうなるのか？等がある。特殊な$2\times 2$行列微分作用素がMelinの不等式を満たす代数的な必要十分条件をSungが与えているが、その方法では空間方向の次元は１にかぎられているのみならず、極めて複雑な証明でもある。差し当たり、これに対して、Melinの証明方法を自然に拡張した行列版での証明を探す必要がある。
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また、ランダム行列の２点関数の物理学者の計算法を整備し直すことにより新しい見解を与えることも目標とする。ランダム行列と可積分系の方程式との大変面白い関連が見い出されつつあるが、それらの関連の生じる理由の根源的解明にスーパー解析が使えるのではと、模索中である。
未刊学術論文
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A.Inoue, {What is superanalysis and how to use it?},
A talk at Ibaraki University on 7 June 2003.
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A.Inoue, {An extension of the method of characteristic
to a system of Partial Differential Operators
-- an application to the Weyl equation with external field
by ``Super Hamiltonian path-integral method"}
ps-file,
pdf-file,
arXiv:math-ph/0212065.
既刊学術論文抜粋（1991〜）
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A.Inoue and Y. Maeda,
{Foundations of calculus on super Euclidean space
${\mathfrak R}^{m|n}$ based on a Fr\'echet-Grassmann algebra},
Kodai Math.J., 14 (1991), 72--112,
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A.Inoue,
{ Foundation of real analysis on the superspace
${\mathfrak R}^{m|n}$ over the $\infty$-dimensional
Fr\'echet-Grassmann algebra},
J.Fac.Sci.Univ.Tokyo, 39 (1992), 419--474,
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A.Inoue,
{A tiny step towards functional derivative equations
---a strong solution of the space-time Hopf equation},
in ``The Navier-Stokes equations II--Theory and Numerical Methods''
(ed. Heywood et al), Springer Lec.Notes Math.
1530 (1992), 246--261,
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A.Inoue,
{A remark on functional derivative equations},
in `` Geometry and its application'' (ed. T. Nagano et al.)
World Scientific Publ. (1993), 39--49,
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A.Inoue,
{A new construction of a fundamental solution
for the free Weyl equation ---An example of superanalysis},
in ``Nonlinear Waves" (eds. R. Agemi, Y. Giga and T. Ozawa),
Gakuto International Series, Mathematical Sciences
and Applications, 10 (1997), 169--182,
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A.Inoue,
{The first term of spectral asymptotic formula
related to the continuum mechanics
--generalizations of Weyl's theorem},
in ``Navier-Stokes equations: theory and numerical methods"
（ed. R. Salvi), Longman, (1998), 184--192,
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A.Inoue,
{On a construction of the fundamental solution
for the free Weyl equation by Hamiltonian path-integral method
---an exactly solvable case with ``odd variable coefficients"},
T\^ohoku J.Math.,50 (1998), 91--118,
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A.Inoue,
{On a construction of the fundamental solution
for the free Dirac equation by Hamiltonian path-integral method
---the classical counterpart of Zitterbewegung},
Japanese J.Math.,24 (1998), 297--334,
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A.Inoue,
{ On a ``Hamiltonian path-integral" derivation
of the Schr\"odinger equation},
Osaka J.Math.,36 (1999), 111--150,
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A.Inoue,
{ A partial solution for Feynman's problem
-- a new derivation of the Weyl equation},
in ``Mathematical Physics and Quantum Field Theory",
Electron. J. Diff.Eqns., Conf.04, 2000, pp. 121-145.
ps-file,
pdf-file.
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A.Inoue and Y. Nomura,
{Some refinements of Wigner's semi-circle law for Gaussian Random Matrices using superanalysis},
Asymptotic Analysis, 23 (2000), 329--375.
ps-file,
pdf-file.
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A.Inoue and Y. Maeda,
{On a construction of a good parametrix
for the Pauli equation
by Hamiltonian path-integral method
--- an application of superanalysis},
{Japanese J. Math.{29}(2003) 27-107}.
ps-file,
pdf-file.
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A.Inoue,
{Witten's deformed Laplacian and its classical mechanics},
in `` Non-commutative geometry'' (ed. Y. Maeda et al.)
World Scientific Publ. (2005), to appear,
pdf-file.
既刊学術論文抜粋（1970〜1990）
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A. Inoue, {On the mixed problem for the wave equation
with an oblique boundary condition},
J. Fac. Sci. Univ. Tokyo,
16 (1970), 313--329.
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A. Inoue, {Sur $ \square u + u^3 = f $ dans un domaine
non cylindrique},
J.Math.Anal.Appl.,
46 (1973), 777--819.
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A. Inoue, {On a mixed problem for $ \square $
with discontinuous boundary condition (I)},
J.Fac.Sci.Univ.of Tokyo.,
21 (1974), 85--72.
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A. Inoue, {On a mixed problem for d'Alembertian
with a mixed boundary condition -an example of moving boundary},
Publ.RIMS. Kyoto Univ.,
11 (1976), 339--401.
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A. Inoue and M. Wakimoto, {On existence of solutions of
the Navier-Stokes equation in a time dependent domain},
J.Fac.Sc.Univ.of Tokyo,
24 (1977), 303--320.
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A. Inoue, {On a mixed problem for $\square$
with a discontinuous boundary condition (II)
--an example of moving boundary},
J.Math.Soc.Japan,
30 (1978), 633--651.
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A. Inoue and T. Funaki, {On a new derivation of the Navier-Stokes equation},
Commun.Math.Phys.,
65 (1979), 83--90.
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A. Inoue, {On Yamabe's problem -by a modified direct method-},
34 (1982), 499--507.
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A. Inoue and Y. Maeda, {On integral transformations associated
with a certain Lagrangian -- as a prototype of quantization},
J.Math. Soc.Japan,
37 (1985), 219--244.
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A. Inoue, {Some examples exhibiting the procedures of renormalization
and gauge fixing
-- Schwinger-Dyson equations of first order},
Kodai Math.J.
9 (1986), 134--160.
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A. Inoue, {Strong and classical solutions of the Hopf equation
---an example of Functional Derivative Equation of second order},
T\^ ohoku Math.J.
39 (1987), 115--144.
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A. Inoue, {On Hopf type functional derivative equations
for $\square u + cu + b u^2 +a u^3 = g$
on $\Omega\times{\bold R}_+$.I. The existence of solutions},
J.Math.Anal.Appl. 152 (1990), 61--87.
以下、教室員のみ閲覧可能。
更新日： 2004年04月20日
