村上 斉

東京工業大学大学院理工学研究科

数学専攻 大域数学講座 助教授

研究教育分野： 低次元トポロジー

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研究テーマ

低次元トポロジー，結び目，3次元多様体，量子不変量

研究の概要

　低次元トポロジーに関する研究を行ってきた．特に最近は結び目や3次元多様体の量子不変量を中心に研究している．
　以下に最近10年間の主な結果を述べる．
　1992年から1993年にかけて，3次元多様体の量子不変量が Casson 不変量を決定するという結果を得た．これは，その後大槻による有限型不変量および Le-村上順-大槻による普遍的量子不変量へと続く研究の先駆けとなっている．
　また，20世紀末には村上順との共同研究により，結び目の Jones 多項式の極限として結び目補空間の体積が得られるであろうという予想（体積）を提示した．これは量子不変量と幾何構造を結びつけるという画期的な予想であり，現在多くの研究者の注目を集めている．

研究の特色

　常に低次元トポロジーに関する新しい問題意識を作り出すことを目標にしてきた．その結果，例えば前述のの体積予 想に関する研究のように，世界中の人からその解決を目標にされるようになってきた．実際，予算獲得のためのキーワードとして「体積予想」は多くの人に利用 されている．
　また，これまで数多くの研究集会（1995年以降17件）を主催してきた．このうちの多くは単なる集会ではなくて，私が提示した問題を少人数で研究する という形式のものであり，特に若い人に大きな影響を与えてきたと思う．こういった研究方針の結果がが，2001年度京都大学数理解析研究所プロジェクト研 究の組織委員代表として，100名前後の参加者を集めたことに現れた．このうち半数近くが海外からの参加者であり，大半が若手の研究者であった．これは私 の研究態度が世界的にも認められていることの証左である．

今後の研究

　現在最も興味を持っている体積予想を中心に低次元トポロジーおよび関連分野の研究を続けていく．

学術論文

• The Arf invariant and the Conway polynomial of a link, Math. Sem. Notes, Kobe Univ., 11 (1983), 335-344.
• (with A. Kawauchi and K. Sugishita) On the T-genus of knot cobordisms, Proc. Japan Acad., Ser. A, 59 (1983), 91-93.
• (with K. Sugishita) Triple points and knot cobordisms, Kobe J. Math., 1 (1984), 1-16.
  
• On the Conway polynomial of a knot with T-genus one, Kobe J. Math., 2 (1985), 117-121.
• Some metrics on classical knots, Math. Ann., 270 (1985), 35-45.
• A recursive calculation of the Arf invariant of a link, J. Math. Soc. Japan, 38 (1986), 335-338.
• On derivatives of the Jones polynomial, Kobe J. Math., 3 (1986), 61-64.
• (with T. Kanenobu) Two-bridge knots with unknotting number one, Proc. Amer. Math. Soc., 98 (1986), 499-502.
• A formula for the two-variable link polynomial, Topology, 26 (1987), 409-412.
  
• (with T. Kobayashi and J. Murakami) {Cyclotomic invariants for links, Proc. Japan Acad., Ser. A, 64 (1988), 235-238.
  
• (with Y. Nakanishi) On a certain move generating link-homology, Math. Ann., 284 (1989), 75-89.
  
• Algebraic unknotting operation, Questions Answers Gen. Topology, 8 (1990), 283-292.
• (with T. Ohtsuki and M. Okada) Invariants of three-manifolds derived from linking matrices of framed links, Osaka J. Math., 29 (1992), 545-572.
  
• Delta-unknotting number and the Conway polynomial, Kobe J. Math., 10 (1993), 17-22.
  
• (with S. Sakai) Sharp-unknotting number and the Alexander module, Topology Appl., 52 (1993), 169-179.
  
• Quantum SU(2)-invariants dominate Casson's SU(2)-invariant, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 115 (1994), 253-281.
  
• (with A. Yasuhara) Crosscap number of a knot, Pacific J. Math., 171 (1995), 261-273.
  
• Quantum SO(3)-invariants dominate the SU(2)-invariant of Casson and Walker, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 117 (1995), 237-249.
• (with T.Q.T. Le, J. Murakami, and T. Ohtsuki) A three-manifold invariant derived from the universal Vassiliev-Kontsevich invariant, Proc. Japan Acad., Ser. A, 71 (1995), 125-127.
  
• Vassiliev invariants of type two for a link, Proc. Amer. Math. Soc., 124 (1996), 3889-3896.
  
• (with T. Ohtsuki) Quantum Sp(n) invariant of links via an invariant of colored planar graphs, Kobe J. Math., 13 (1996), 191-202.
  
• (with T. Ohtsuki and S. Yamada) HOMFLY polynomial via an invariant of colored plane graphs, Enseignement Math., 44 (1998), 325-360.
• A weight system derived from the multivariable Conway potential function, J. London Math. Soc., (2) 59 (1999), 698-714.
  
• (with T.Q.T. Le, J. Murakami, and T. Ohtsuki) A three-manifold invariant via the Kontsevich integral, Osaka J. Math., 36 (2) (1999), 365-396.
• Hyperbolic three-manifolds with trivial finite type invariants, Kobe J. Math., 16 (1999), 183-187.
  
• (with A. Yasuhara) Four-genus and four-dimensional clasp number of a knot, Proc. Amer. Math. Soc., 128 (2000), 3693-3699.
  
• (with S. Chmutov and V .Goryunov) Regular Legendrian knots and the HOMFLY polynomial of immersed plane curves, Math. Ann., 317 (2000), 389-413.
  
• (with T. Ohtsuki) Finite type invariants of knots via their Seifert matrices, Asian J. Math., 5 (2001), 239-386.
  
• (with J. Murakami) The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot, Acta Math., 186 (2001), 85-104.
  
• (with J. Murakami, M. Okamoto, T. Takata, and Y. Yokota) Kashaev's conjecture and the Chern-Simons invariants of knots and links, Experiment. Math., 11 (2002), no. 3, 427-435.
  
• Asymptotic behaviors of the colored Jones polynomials of a torus knot, Internat. J. Math. 15 (2004), no. 6, 547-555.
• Some limits of the colored Jones polynomials of the figure-eight knot, Kyungpook Math. J. 44 (2004), no. 3, 369-383.
• The colored Jones polynomials of the figure-eight knot and the volumes of three-manifolds obtained by Dehn surgeries. Fund. Math. 184 (2004), 269-289.
• A quantum introduction to knot theory. Primes and knots, 137-165, Contemp. Math., 416, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.
• Various generalizations of the volume conjecture. The interaction of analysis and geometry, 165-186, Contemp. Math., 424, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007.
• A version of the volume conjecture. Adv. Math. 211 (2007), no. 2, 678-683.
• (with Y. Yokota) The colored Jones polynomials of the figure-eight knot and its Dehn surgery spaces. J. Reine Angew. Math. 607 (2007), 47-68.
• The colored Jones polynomials and the Alexander polynomial of the figure-eight knot. JP J. Geom. Topol. 7 (2007), no. 2, 249-269.